2つの直線 $kx + 2y + 2k = 0$ と $2x - ky = 0$ がある。$k$ の値が変化するとき、この2直線の交点 $P$ の軌跡を求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $kx + 2y + 2k = 0$ と $2x - ky = 0$ がある。$k$ の値が変化するとき、この2直線の交点 $P$ の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

交点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおく。

2つの直線の方程式は、

$kx + 2y + 2k = 0$ (1)

$2x - ky = 0$ (2)

(1) より、

$k(x+2) = -2y$

$k = -\frac{2y}{x+2}$ (3)

(2) より、

$k = \frac{2x}{y}$ (4)

(3) と (4) より、

$-\frac{2y}{x+2} = \frac{2x}{y}$

$-2y^2 = 2x(x+2)$

$-y^2 = x^2 + 2x$

$x^2 + y^2 + 2x = 0$

$(x+1)^2 + y^2 = 1$

ただし、$x = -2$ のとき、(1)より $-2k + 2y + 2k = 0$ となり $y = 0$。

(2) より $2x - k \cdot 0 = 0$ となり、$x = 0$。これは $x = -2$ と矛盾するので、$x = -2$ は除外する。

また、$y=0$のとき、(2)より、$2x = 0$なので、$x=0$。

(1)より、$kx + 2y + 2k = k(0) + 2(0) + 2k = 0$となり、$k=0$となるので、$x=0, y=0$は軌跡上の点である。

同様に、$x,y$を代入すると、$x = -2$ は除外される。

したがって、軌跡は、中心 $(-1, 0)$、半径 1 の円で、点 $(-2, 0)$ を除く。

3. 最終的な答え

$(x+1)^2 + y^2 = 1$ ただし、点 $(-2, 0)$ を除く。