四面体ABCDがあり、頂点A, B, C, Dの位置ベクトルはそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$である。$\triangle BCD$の重心をGとする。線分AGを3:1に内分する点をPとするとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体ABCDがあり、頂点A, B, C, Dの位置ベクトルはそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$である。$\triangle BCD$の重心をGとする。線分AGを3:1に内分する点をPとするとき、点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle BCD$の重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求める。重心Gは、各頂点の位置ベクトルの平均で表される。したがって、

$\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

次に、線分AGを3:1に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$を求める。内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{1\cdot\vec{a} + 3\cdot\vec{g}}{3+1}$

$\vec{g}$を代入すると、

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + 3\cdot\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}}{4}$

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$