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与えられた連立一次方程式を解き、解を縦ベクトルとその和の形で表現する問題です。 (1) $ \begin{cases} x+y+z+w = 1 \\ x+z-w = 2 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x+y-z = 1 \\ 2x+3y-4z = 5 \\ x+y = 3 \end{cases} $ (3) $ x+y-z = 2 $

代数学連立一次方程式線形代数ベクトル
2025/6/8

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、解を縦ベクトルとその和の形で表現する問題です。
(1)
\begin{cases}
x+y+z+w = 1 \\
x+z-w = 2
\end{cases}
(2)
\begin{cases}
x+y-z = 1 \\
2x+3y-4z = 5 \\
x+y = 3
\end{cases}
(3)
x+y-z = 2

2. 解き方の手順

(1)
x+y+z+w=1x+y+z+w=1 と x+z−w=2x+z-w=2 の連立方程式を解きます。
2番目の式から x+z=w+2x+z = w+2 を得ます。これを1番目の式に代入すると、
y+w+2+w=1y + w+2 + w = 1 より、 y+2w=−1y+2w = -1 となります。
したがって、y=−1−2wy = -1 - 2w です。
x=w+2−zx = w+2 - z なので、これを元の式に代入すると、
w+2−z−1−2w+z+w=1w+2-z -1 -2w + z + w = 1 より、 1=11=1 となり、これは常に成り立ちます。
zz と ww をパラメータとして解を表します。
w=sw = s, z=tz = t とすると、y=−1−2sy = -1 - 2s, x=s+2−tx = s+2-t となります。
解ベクトルは以下のようになります。
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z \\ w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
s+2-t \\ -1-2s \\ t \\ s
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\ -1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+
s
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
(2)
\begin{cases}
x+y-z = 1 \\
2x+3y-4z = 5 \\
x+y = 3
\end{cases}
3番目の式から x+y=3x+y = 3 なので、y=3−xy = 3-x です。
これを1番目の式に代入すると、x+(3−x)−z=1x + (3-x) - z = 1 より、3−z=13 - z = 1, よって z=2z = 2 です。
これを2番目の式に代入すると、2x+3y−4(2)=52x + 3y - 4(2) = 5, つまり 2x+3y=132x+3y = 13 です。
y=3−xy=3-x を代入すると、2x+3(3−x)=132x+3(3-x) = 13, 2x+9−3x=132x+9-3x=13, −x=4-x = 4, x=−4x=-4 です。
y=3−(−4)=7y = 3-(-4) = 7 です。
したがって、x=−4,y=7,z=2x=-4, y=7, z=2 です。
解ベクトルは
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-4 \\ 7 \\ 2
\end{pmatrix}
(3)
x+y−z=2x+y-z = 2 を解きます。zz をパラメータとして，z=tz=t とおきます。
x+y=2+tx+y = 2+t なので，y=2+t−xy = 2+t - x です。xx をパラメータとして，x=sx=s とおきます。
y=2+t−sy = 2+t-s です。
解ベクトルは
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
s \\ 2+t-s \\ t
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
+
s
\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(1)
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z \\ w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\ -1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+
s
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
(2)
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-4 \\ 7 \\ 2
\end{pmatrix}
(3)
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
+
s
\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}
+
t
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}

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