$a = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$、 $b = \left| \frac{1}{a} - 5 \right|$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a - b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$、 $b = \left| \frac{1}{a} - 5 \right|$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a - b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ の分母と分子に $3 + \sqrt{7}$ を掛ける。

$a = \frac{(3 + \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})} = \frac{9 + 6\sqrt{7} + 7}{9 - 7} = \frac{16 + 6\sqrt{7}}{2} = 8 + 3\sqrt{7}$

(2) $b$ の値を求める。

$\frac{1}{a} = \frac{1}{8 + 3\sqrt{7}}$ を有理化する。

分母と分子に $8 - 3\sqrt{7}$ を掛ける。

$\frac{1}{a} = \frac{8 - 3\sqrt{7}}{(8 + 3\sqrt{7})(8 - 3\sqrt{7})} = \frac{8 - 3\sqrt{7}}{64 - 63} = 8 - 3\sqrt{7}$

$b = \left| \frac{1}{a} - 5 \right| = \left| 8 - 3\sqrt{7} - 5 \right| = \left| 3 - 3\sqrt{7} \right| = |3(1 - \sqrt{7})|$

$\sqrt{7} > 1$ より $1 - \sqrt{7} < 0$ なので、

$b = |3(1 - \sqrt{7})| = -3(1 - \sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 3$

$a - b$ を計算する。

$a - b = (8 + 3\sqrt{7}) - (3\sqrt{7} - 3) = 8 + 3\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 3 = 11$

3. 最終的な答え

(1) $a = 8 + 3\sqrt{7}$

(2) $a - b = 11$