関数 $f(x) = -3x^3 + x^2 + 3$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x=-2$ および $x=1$ における $f'(x)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -3x^3 + x^2 + 3$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x=-2$ および $x=1$ における $f'(x)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = -3x^3 + x^2 + 3$ を微分する。

各項ごとに微分すると、

$\frac{d}{dx}(-3x^3) = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

$\frac{d}{dx}(3) = 0$

したがって、導関数 $f'(x)$ は

$f'(x) = -9x^2 + 2x$

次に、$x = -2$ のときの $f'(-2)$ を求める。

$f'(-2) = -9(-2)^2 + 2(-2) = -9(4) - 4 = -36 - 4 = -40$

最後に、$x = 1$ のときの $f'(1)$ を求める。

$f'(1) = -9(1)^2 + 2(1) = -9 + 2 = -7$

3. 最終的な答え

導関数の式: $f'(x) = -9x^2 + 2x$

$x = -2$ のときの傾き: $-40$

$x = 1$ のときの傾き: $-7$