三角関数の合成の問題です。 (1) $3\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ただし、$r > 0$, $-\pi \le \alpha < \pi$ とする。 (2) $2\sin\theta - 2\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ただし、$r > 0$, $-\pi \le \alpha < \pi$ とする。

はい、承知いたしました。画像にある三角関数の合成の問題を解きます。

1. 問題の内容

三角関数の合成の問題です。

(1) $3\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ただし、$r > 0$, $-\pi \le \alpha < \pi$ とする。

(2) $2\sin\theta - 2\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ただし、$r > 0$, $-\pi \le \alpha < \pi$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $3\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の場合：

三角関数の合成の公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$ を用います。

ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos\alpha = \frac{a}{r}$, $\sin\alpha = \frac{b}{r}$ です。

$a = 3$, $b = \sqrt{3}$ なので、

$r = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\cos\alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

これより、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ (30度)

(2) $2\sin\theta - 2\cos\theta$ の場合：

$a = 2$, $b = -2$ なので、

$r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

これより、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$ (-45度)

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

(2) $2\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$