放物線 $C: y = x^2 - 4x + 3$ 上の点 $P(0, 3)$ と $Q(6, 15)$ における接線をそれぞれ $l, m$ とする。この2つの接線と放物線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 4x + 3$ 上の点 $P(0, 3)$ と $Q(6, 15)$ における接線をそれぞれ $l, m$ とする。この2つの接線と放物線で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y=x^2-4x+3$ を微分して、$y' = 2x - 4$ を得る。

点 $P(0, 3)$ における接線 $l$ の傾きは $y'(0) = 2(0) - 4 = -4$ である。

したがって、接線 $l$ の方程式は $y - 3 = -4(x - 0)$ より、

$y = -4x + 3$ である。

点 $Q(6, 15)$ における接線 $m$ の傾きは $y'(6) = 2(6) - 4 = 8$ である。

したがって、接線 $m$ の方程式は $y - 15 = 8(x - 6)$ より、

$y = 8x - 33$ である。

次に、2つの接線 $l$ と $m$ の交点を求める。

$-4x + 3 = 8x - 33$ を解くと、

$12x = 36$

$x = 3$

したがって、$y = -4(3) + 3 = -9$

よって、2つの接線の交点は $(3, -9)$ である。

放物線と接線 $l$ で囲まれた部分の面積は、

$\int_{0}^{x_1} (x^2 - 4x + 3 - (-4x + 3))dx = \int_{0}^{x_1} (x^2) dx = \frac{1}{3}x_1^3$

ここで、$x_1$ は放物線と接線 $l$ の接点の $x$ 座標であり、$x_1=0$ である。

放物線と接線 $m$ で囲まれた部分の面積は、

$\int_{x_2}^{6} (x^2 - 4x + 3 - (8x - 33))dx = \int_{x_2}^{6} (x^2 - 12x + 36)dx = \int_{x_2}^{6} (x - 6)^2 dx = \frac{1}{3}(x - 6)^3|_{x_2}^{6} = -\frac{1}{3}(x_2 - 6)^3$

ここで、$x_2$ は放物線と接線 $m$ の接点の $x$ 座標であり、$x_2=6$ である。

面積 $S$ は

$S = \left| \int_{0}^{6} (x^2-4x+3) dx - \int_{0}^{3} (-4x+3) dx - \int_{3}^{6} (8x-33) dx \right|$

計算を簡単にするために、公式を利用する。放物線 $y=ax^2+bx+c$ と接線で囲まれた面積は $\frac{|a|}{6} (x_2 - x_1)^3$ である。

放物線 $y=x^2-4x+3$ と接線 $y=-4x+3$ で囲まれた部分の面積は $\frac{1}{6} (0 - 0)^3 = 0$ ではない。交点を見つける必要がある。

$S = \frac{|1|}{6} (6-0)^3 - \frac{|1|}{6} |2a| (x_m -0 )^3 = \frac{1}{6} |2 \cdot 1| \times (x - x_i)^3$

$S = \frac{1}{6} (x - x_i)^3$

放物線 $C: y = x^2 - 4x + 3$ と接線 $l, m$ で囲まれた面積を計算すると、 $S = \frac{1}{6} (6 - 0)^3 (6-3)^3 = (2x-4) = \frac{1}{6}x_k$

面積の公式を用いる場合、$S = \frac{|a|}{6}|x_1-x_2|^3$ から、放物線 $y = x^2-4x+3$ の場合、$a=1$。

放物線と2接線で囲まれた図形の面積の公式は $S=\frac{|a|}{12} (x_2-x_1)^3$ を用いて求めると、 $S = \frac{1}{12} (6-0)^3 = \frac{216}{12} = 18$ となる。

3. 最終的な答え

18