$2\sin\theta - 2\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形してください。

1. 問題の内容

$2\sin\theta - 2\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形してください。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$2\sin\theta - 2\cos\theta$ は、

$r\sin(\theta+\alpha) = r\sin\theta\cos\alpha + r\cos\theta\sin\alpha$ の形に変形できます。

係数を比較すると、

$r\cos\alpha = 2$

$r\sin\alpha = -2$

となります。

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = 2^2 + (-2)^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 4 + 4$

$r^2 = 8$

$r = 2\sqrt{2}$ (ただし、$r > 0$)

$\cos\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\alpha = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$ です。

よって、

$2\sin\theta - 2\cos\theta = 2\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$