(1) 関数 $y = x^2 + \frac{2}{x}$ の極小値と、そのときの $x$ の値を求めます。 (2) 方程式 $x^3 - ax + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求めます。また、実数解をただ1つ持つような $a$ の値のうち、最大の整数を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^2 + \frac{2}{x}$ の極小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

(2) 方程式 $x^3 - ax + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求めます。また、実数解をただ1つ持つような $a$ の値のうち、最大の整数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $y$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = 2x - \frac{2}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x - \frac{2}{x^2} = 0$

$2x = \frac{2}{x^2}$

$x^3 = 1$

$x = 1$

$x = 1$ のとき、関数 $y$ の値は

$y = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3$

次に、2階微分を計算します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = 2 + \frac{4}{x^3}$

$x = 1$ のとき、$\frac{d^2y}{dx^2} = 2 + \frac{4}{1^3} = 2 + 4 = 6 > 0$ であるため、$x = 1$ で極小値を持ち、その値は $3$ です。

(2)

方程式 $x^3 - ax + 2 = 0$ を変形すると $ax = x^3 + 2$ となります。

$x=0$は方程式の解ではないので、$a = x^2 + \frac{2}{x}$ となります。

$f(x) = x^3 - ax + 2$ とおきます。

$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、

$f(x) = 0$ が重解を持つ必要があります。

したがって、$f'(x) = 3x^2 - a = 0$ となる $x$ が存在します。

$a = 3x^2$ を $x^3 - ax + 2 = 0$ に代入すると、

$x^3 - 3x^3 + 2 = 0$

$-2x^3 + 2 = 0$

$x^3 = 1$

$x = 1$

したがって、$a = 3x^2 = 3(1)^2 = 3$

このとき、$x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2 (x+2) = 0$

解は $x=1, -2$。重解 $x=1$ ともう一つの解 $x=-2$ を持つので、異なる2つの実数解を持つ時の $a$ の値は 3 です。

実数解をただ1つ持つ場合を考えます。

$f(x) = x^3 - ax + 2$ のグラフを考えます。

極大値と極小値が同符号であれば実数解は1つです。

$f'(x) = 3x^2 - a = 0$ を解くと、$x = \pm\sqrt{\frac{a}{3}}$ となります。

$x_1 = -\sqrt{\frac{a}{3}}, x_2 = \sqrt{\frac{a}{3}}$ とすると、

$f(x_1) f(x_2) > 0$ となれば良いです。

極大値と極小値の積が正であれば、実数解は一つです。

$f(x_1) = (-\sqrt{\frac{a}{3}})^3 - a(-\sqrt{\frac{a}{3}}) + 2 = -\frac{a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} + a\sqrt{\frac{a}{3}} + 2 = \frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} + 2$

$f(x_2) = (\sqrt{\frac{a}{3}})^3 - a(\sqrt{\frac{a}{3}}) + 2 = \frac{a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} - a\sqrt{\frac{a}{3}} + 2 = -\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} + 2$

$f(x_1) f(x_2) = (\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} + 2)(-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}} + 2) = 4 - \frac{4a^3}{27} > 0$

$4 > \frac{4a^3}{27}$

$1 > \frac{a^3}{27}$

$27 > a^3$

$a < 3$

$a = 3$ のとき重解を持つので実数解は2つです。

$f(x) = 0$ が実数解を1つだけ持つ条件は、$a < 3$ です。

$a = 3$ のときは解が $x=1$ (重解)と $x=-2$ なので、実数解は2つです。

$a > 3$ のとき、$x^3 - ax + 2 = 0$ の解は一つになります。

また、$f(x) = x^3 - ax + 2$ において、$x=-1$ を代入すると、

$-1 + a + 2 = 0$ より $a = -1$ のとき $x=-1$ が解になります。

$(x+1)(x^2-x+2) = x^3 + 1$ なので、$a \neq -1$

重解を持つとき $a=3$ なので、実数解を一つだけ持つ $a$ の条件は $a > 3$ または $a < 3$ である。ただし、$a \neq -1$。

$a$ が実数解をただ1つ持つような $a$ の値のうち、最大の整数は $a < 3$ のときの $2$ か $a > 3$ のときの無限大かになります。

$x=-1$の時は $x^3-ax+2 = -1+a+2 = 0$ なので $a=-1$。このときは $(x+1)(x^2-x+2) = 0$ なので、$x=-1$ が実数解で、$x^2-x+2$ は実数解を持たないので、実数解は一つです。

$f(x)$ のグラフを描いて確認すると、$a < 3$ で、グラフがx軸と1回だけ交わるような最大の整数は $a=2$ です。

$a>3$においてaを大きくすると、実数解は1つになります。$a=3$の時、$(x-1)^2(x+2)=0$なので、異なる2つの解を持ち、$a=4$の時、$x^3-4x+2=0$の解は1つになります。

3. 最終的な答え

1: 3

2: 3

3: 3

4: 2

あるいは

4: 4

```

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^2 + \frac{2}{x}$ の極小値をとる $x$ の値とその極小値を求める。

(2) 方程式 $x^3 - ax + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求め、実数解をただ1つ持つような $a$ の値のうち最大の整数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = x^2 + \frac{2}{x}$ を微分して、$\frac{dy}{dx} = 2x - \frac{2}{x^2}$。

極値を取る条件は $\frac{dy}{dx} = 0$ なので、$2x - \frac{2}{x^2} = 0$ を解く。

$2x = \frac{2}{x^2}$ より $x^3 = 1$。したがって $x = 1$。

$x=1$ のとき、$y = 1^2 + \frac{2}{1} = 3$。

$\frac{d^2y}{dx^2} = 2 + \frac{4}{x^3}$。

$x=1$ のとき $\frac{d^2y}{dx^2} = 2+4 = 6 > 0$ なので、$x=1$ で極小値 $3$ をとる。

(2)

$x^3 - ax + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、重解を持つことである。

$f(x) = x^3 - ax + 2$ とすると、$f'(x) = 3x^2 - a = 0$。よって、$a = 3x^2$。

これを $f(x) = 0$ に代入して、$x^3 - 3x^3 + 2 = 0$ より $-2x^3 + 2 = 0$。

$x^3 = 1$ より $x = 1$。

したがって $a = 3(1)^2 = 3$。

$x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0$ なので、$x=1$ (重解) と $x=-2$ が解。

$f(x)=x^3 - ax + 2$が実数解を一つだけ持つ場合を考える。

$a < 3$の場合、極大値、極小値の両方を持つ。

$\alpha$ が実数解のとき $f(\alpha) = \alpha^3 - a\alpha + 2 = 0$。

$f'(x) = 3x^2 - a$ より、$f'(x) = 0$ となるのは $x = \pm\sqrt{\frac{a}{3}}$。

$f'(x)$が存在するためには、$a \ge 0$である必要があり、$a=0$の場合は、$x^3 = -2$なので実数解を1つ持つ。

極大値と極小値の積が正であればよい。

極大値は $x = -\sqrt{a/3}$のときで、極小値は $x=\sqrt{a/3}$のときなので、

$f(\sqrt{a/3}) = a^{3/2}/3\sqrt{3} - a^{3/2}/\sqrt{3} + 2$

$f(-\sqrt{a/3}) = -a^{3/2}/3\sqrt{3} + a^{3/2}/\sqrt{3} + 2$

$f(\sqrt{a/3}) = -2a^{3/2}/3\sqrt{3} + 2$

$f(-\sqrt{a/3}) = 2a^{3/2}/3\sqrt{3} + 2$

$4 - 4a^3/27 > 0$

$1 > a^3/27$

$a^3 < 27$

$a < 3$

よって $a=2$

ただし $a$ が負の値も考えられる。$a=4$の時の$f(x) = x^3 - 4x + 2$ の解は$x\approx -2.21, 0.54, 1.68$なので実数解は3つある。

3. 最終的な答え

1: 1

2: 3

3: 3

4: 2

```

1. 問題の内容

(1) 関数 $y=x^2 + \frac{2}{x}$ の極小値と、そのときの $x$ の値を求める問題です。

(2) $x$ についての方程式 $x^3-ax+2=0$ が異なる2つの実数解をもつような $a$ の値を求め、実数解をただ一つ持つような $a$ の値のうち最大の整数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y$ を微分すると、$\frac{dy}{dx} = 2x - \frac{2}{x^2}$ となります。

極値を取る条件は $\frac{dy}{dx} = 0$ なので、$2x - \frac{2}{x^2} = 0$ を解くと、$x^3 = 1$ より $x=1$。

$x=1$ のとき、$y = 1^2 + \frac{2}{1} = 3$。

二階微分は、$\frac{d^2y}{dx^2} = 2 + \frac{4}{x^3}$ であり、$x=1$ のとき $\frac{d^2y}{dx^2} = 6 > 0$ なので、$x=1$ で極小値 $3$ をとります。

(2)

$x^3-ax+2=0$ が異なる2つの実数解を持つためには、重解を持つ必要があります。

$f(x) = x^3 - ax + 2$ とすると、$f'(x) = 3x^2 - a$。

$f(x)=0$と$f'(x)=0$が共通の解を持つとき、異なる2つの実数解を持ちます。

$3x^2 - a = 0$ より、$a = 3x^2$。

$f(x) = 0$ に代入すると、$x^3 - 3x^3 + 2 = 0$。

$-2x^3 + 2 = 0$ より、$x^3 = 1$。よって、$x = 1$。

$a = 3x^2 = 3(1)^2 = 3$。

このとき、$x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2 (x+2) = 0$ となるので、異なる2つの解は、$x=1$（重解）と $x=-2$。

次に、実数解をただ1つ持つような $a$ の値のうち、最大の整数を求めます。

$f(x) = x^3 - ax + 2$ のグラフを考えます。

$f(x) = 0$ が実数解を1つだけ持つ条件は、$f(x)$ が極値を持たないか、極大値と極小値が同符号であることです。

$f'(x) = 3x^2 - a = 0$ より、$x = \pm \sqrt{\frac{a}{3}}$。

$a < 0$ のとき、極値を持ちません。

$a = 0$ のとき、$x^3 + 2 = 0$ より、$x = -\sqrt[3]{2}$ であり、実数解は一つです。

$a > 0$ のとき、$x_1 = \sqrt{\frac{a}{3}}$、$x_2 = -\sqrt{\frac{a}{3}}$ とすると、極大値と極小値はそれぞれ、

$f(x_1) = \frac{2a}{3} \sqrt{\frac{a}{3}} + 2$

$f(x_2) = -\frac{2a}{3} \sqrt{\frac{a}{3}} + 2$

極大値と極小値の積 $f(x_1) f(x_2) = (2 + \frac{2a}{3} \sqrt{\frac{a}{3}}) (2 - \frac{2a}{3} \sqrt{\frac{a}{3}}) = 4 - \frac{4a^3}{27}$

$f(x_1) f(x_2) > 0$ より、$4 > \frac{4a^3}{27}$。

$a^3 < 27$ なので、$a < 3$。

したがって、$a < 3$ であれば、実数解をただ一つ持ちます。

よって、$a$ の値のうち最大の整数は、$2$ です。

3. 最終的な答え

1: 1

2: 3

3: 3

4: 2

```