与えられた積分 $\int xe^{x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int xe^{x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くには、置換積分法を用います。

$u = x^2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

よって、$du = 2x dx$ 、つまり $x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

この置換を元の積分に適用すると、

$\int xe^{x^2} dx = \int e^{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^{u} du$

$\int e^u du = e^u + C$ （$C$ は積分定数）なので、

$\frac{1}{2} \int e^{u} du = \frac{1}{2} e^{u} + C$

最後に、$u = x^2$ を代入して、$x$ の関数に戻します。

$\frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}e^{x^2} + C$