2つの直線 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x - 10$ と $y = -3\sqrt{3}x + 2$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ とします。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x - 10$ と $y = -3\sqrt{3}x + 2$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ とします。

2. 解き方の手順

2つの直線の傾きをそれぞれ $m_1$ と $m_2$ とします。

$m_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$m_2 = -3\sqrt{3}$

2直線のなす角 $\theta$ は、$\tan \theta$ を用いて次の式で表されます。

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\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|

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傾きを代入して計算します。

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\tan \theta = \left| \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - (-3\sqrt{3})}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} (-3\sqrt{3})} \right|

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\tan \theta = \left| \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3}}{1 - \frac{9}{2}} \right|

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\tan \theta = \left| \frac{\frac{7\sqrt{3}}{2}}{-\frac{7}{2}} \right|

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\tan \theta = \left| -\sqrt{3} \right|

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\tan \theta = \sqrt{3}

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$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$