横の長さが $x$、縦の長さが $y$ の長方形の土地の周りに、幅 $a$ の道がある。この道の面積を $S$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とすると、$S=al$ となることを証明する問題で、空欄に当てはまる式を答える問題です。 具体的には、 $S=(x+a+a)(y+a+a) - \text{[1]}$ の [1] に当てはまる式を答える必要があります。

1. 問題の内容

横の長さが $x$、縦の長さが $y$ の長方形の土地の周りに、幅 $a$ の道がある。この道の面積を $S$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ とすると、$S=al$ となることを証明する問題で、空欄に当てはまる式を答える問題です。 具体的には、

$S=(x+a+a)(y+a+a) - \text{[1]}$

の [1] に当てはまる式を答える必要があります。

2. 解き方の手順

道の面積 $S$ は、外側の長方形の面積から内側の長方形の面積を引いたものなので、

$S = (x+2a)(y+2a) - xy$

となります。問題文に、

$S = (x+a+a)(y+a+a) - \text{[1]}$

とあるので、[1] は $xy$ であると推測できます。

実際に計算してみると、

$S = (x+2a)(y+2a) - xy = xy + 2ax + 2ay + 4a^2 - xy = 2ax + 2ay + 4a^2$

となり、問題文に書かれている

$S = 2ax + 2ay + 4a^2 \dots (1)$

と一致します。

3. 最終的な答え

[1] に当てはまる式は $xy$ です。