問題は、道の面積 $S$ と、道の真ん中を通る線の長さ $l$ に関する等式を導く過程の穴埋め問題です。特に、(1), (2)の式から $S=al$ を示すために、$al$ を変形し、空欄(1), (2), (3)を埋める必要があります。

1. 問題の内容

問題は、道の面積 $S$ と、道の真ん中を通る線の長さ $l$ に関する等式を導く過程の穴埋め問題です。特に、(1), (2)の式から $S=al$ を示すために、$al$ を変形し、空欄(1), (2), (3)を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

* **空欄(1)を埋める**

$S = (x+a+a)(y+a+a) - xy$ を計算し整理します。

$S = (x+2a)(y+2a) - xy = xy + 2ax + 2ay + 4a^2 - xy = 2ax + 2ay + 4a^2$

よって、空欄(1)は、$xy$ です。

* **空欄(2)を確認する**

問題文より

$l=2(x+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}a)+2(y+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}a)=2(x+a)+2(y+a)=2x+2a+2y+2a=2x+2y+4a$

問題文に書かれている、$2x+2y+4$ は間違いです。 正しくは、$2x+2y+4a$ となります。

* **空欄(3)を埋める**

$al$ を計算し、(2)の式の $2ax + 2ay + 4a^2$と一致するように計算します。

$al = a(2x+2y+4a) = 2ax + 2ay + 4a^2$

この式は、(1)の式 $S = 2ax+2ay+4a^2$ と同じなので、$S = al$ が成り立ちます。

$l = 2(x+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}) + 2(y+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}) = 2(x+a) + 2(y+a) = 2x + 2a + 2y + 2a = 2x+2y+4a$

よって、

$al=a(2x+2y+4a)=2ax+2ay+4a^2$ となり、S=alが示せる。

したがって、空欄(3)に入るのは $a$ です。

3. 最終的な答え

* (1): $xy$

* (2): $2x+2y+4a$ (問題文では$2x+2y+4$となっているが、これは誤り)

* (3): $a$