関数 $f(x) = -x^3 + 3ax$ の区間 $0 \leq x \leq 2$ における最小値を求めよ。ただし、$a > 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 3ax$ の区間 $0 \leq x \leq 2$ における最小値を求めよ。ただし、$a > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 3a$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 3a = 0$

$x^2 = a$

$x = \pm \sqrt{a}$

区間 $0 \leq x \leq 2$ で考えるので、$x = \sqrt{a}$ が区間内にあるかどうかで場合分けします。

(i) $0 < \sqrt{a} < 2$ つまり、$0 < a < 4$ のとき：

このとき、$f(x)$ は $x = \sqrt{a}$ で極値を持ちます。$f'(x) = -3(x^2-a)$ なので、$x < \sqrt{a}$ で $f'(x) > 0$、$x > \sqrt{a}$ で $f'(x) < 0$ となり、$x=\sqrt{a}$ で極大値を取ります。

したがって、区間 $0 \leq x \leq 2$ における最小値は、$f(0)$ または $f(2)$ のいずれかです。

$f(0) = -0^3 + 3a(0) = 0$

$f(2) = -2^3 + 3a(2) = -8 + 6a$

$f(0) < f(2)$ となるのは、$0 < -8 + 6a$ つまり、$a > \frac{4}{3}$ のときです。

$0 < a \leq \frac{4}{3}$ のとき、最小値は $f(2) = -8 + 6a$ です。

$\frac{4}{3} < a < 4$ のとき、最小値は $f(0) = 0$ です。

(ii) $\sqrt{a} \geq 2$ つまり、$a \geq 4$ のとき：

$f'(x) = -3x^2 + 3a$ であり、$0 \leq x \leq 2$ において、$x^2 \leq 4 \leq a$ なので、$f'(x) > 0$ となります。したがって、$f(x)$ は単調減少関数です。

区間 $0 \leq x \leq 2$ における最小値は $f(2) = -8 + 6a$ です。

(iii) $\sqrt{a} \leq 0$ つまり、$a \leq 0$ のとき：

これは $a>0$ の条件に反するので、考慮しません。

まとめると、

$0 < a \leq \frac{4}{3}$ のとき、最小値は $-8 + 6a$

$\frac{4}{3} < a < 4$ のとき、最小値は $0$

$a \geq 4$ のとき、最小値は $-8 + 6a$

上記をまとめて、$a > 0$ に対して、

$0 < a \leq \frac{4}{3}$ のとき、最小値は $f(2) = -8 + 6a$

$a > \frac{4}{3}$ のとき、

$f(0) = 0$ と $f(2) = -8 + 6a$ を比較します。$f(0) = 0$ が最小値となるのは$0 < -8 + 6a$ より $a > 4/3$ のときです。

したがって、

$0 < a \leq \frac{4}{3}$ のとき、最小値は $-8+6a$

$\frac{4}{3} < a < 4$ のとき、最小値は $0$

$a \geq 4$ のとき、最小値は $-8+6a$

より簡潔にするために,

$0 < a \leq \frac{4}{3}$ のとき，最小値は $-8 + 6a$

$a > \frac{4}{3}$ のとき， $x=\sqrt{a}$ が定義域外になるので, $f(0)$ と $f(2)$ を比較すると,

$f(0) = 0$

$f(2) = -8 + 6a$

したがって，$f(0) < f(2)$ より最小値は $0$ となる.

したがって、$a > 4/3$ の時、最小値は $0$

3. 最終的な答え

$0 < a \leq \frac{4}{3}$ のとき、最小値は $-8+6a$

$a > \frac{4}{3}$ のとき、最小値は $0$