(1) $6x^2 - 5xy - 6y^2 + 10x + 24y - 29 = 0$ を満たす自然数 $x, y$ の組 $(x, y)$ を求める。 (2) $x^2 - 4xy + 7y^2 + y - 14 = 0$ を満たす整数 $x, y$ の組 $(x, y)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $6x^2 - 5xy - 6y^2 + 10x + 24y - 29 = 0$ を満たす自然数 $x, y$ の組 $(x, y)$ を求める。

(2) $x^2 - 4xy + 7y^2 + y - 14 = 0$ を満たす整数 $x, y$ の組 $(x, y)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - 5xy - 6y^2 + 10x + 24y - 29 = 0$ を $x$ について整理する。

$6x^2 + (-5y+10)x - (6y^2-24y+29) = 0$

$x$ について解の公式を使うと

$x = \frac{-(-5y+10) \pm \sqrt{(-5y+10)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6y^2+24y+29)}}{2 \cdot 6}$

$x = \frac{5y-10 \pm \sqrt{25y^2-100y+100+144y^2-576y-696}}{12}$

$x = \frac{5y-10 \pm \sqrt{169y^2 - 676y - 596}}{12}$

$x = \frac{5y-10 \pm \sqrt{169(y^2 - 4y) - 596}}{12}$

$x = \frac{5y-10 \pm \sqrt{169(y^2 - 4y + 4) - 676 - 596}}{12}$

$x = \frac{5y-10 \pm \sqrt{169(y-2)^2 - 1272}}{12}$

$169(y-2)^2 - 1272 \ge 0$ でなければならない。

$(y-2)^2 \ge \frac{1272}{169} \approx 7.52$

$y$ は自然数であるため、$y-2 \ge 3$ または $y-2 \le -3$ より $y \ge 5$ または $y \le -1$.

$y \ge 5$ であり、$169(y-2)^2 - 1272 = k^2$ (kは整数) となる自然数を探す。

$y=5$のとき、 $169(3)^2 - 1272 = 1521 - 1272 = 249$ これは平方数でない。

$y=6$のとき、 $169(4)^2 - 1272 = 2704 - 1272 = 1432$ これは平方数でない。

$y=7$のとき、 $169(5)^2 - 1272 = 4225 - 1272 = 2953$ これは平方数でない。

式を因数分解して

$(2x-3y+a)(3x+2y+b) = c$

$6x^2+4xy+2bx-9xy-6y^2-3by+3ax+2ay+ab = c$

$6x^2-5xy-6y^2+(2b+3a)x+(2a-3b)y+ab = c$

係数を比較して

$2b+3a = 10$

$2a-3b = 24$

$ab = -29-c$

$2b+3a=10 \implies 4b+6a=20$

$2a-3b=24 \implies 6a-9b=72$

$4b+6a+6a-9b = 20+72$

$12a - 5b = 92$

$12a=5b+92 \implies a=\frac{5b+92}{12}$

これを $2b+3a=10$ に代入

$2b+3(\frac{5b+92}{12})=10$

$2b+\frac{5b+92}{4} = 10$

$8b+5b+92 = 40$

$13b = -52$

$b = -4$

$a = \frac{-20+92}{12} = \frac{72}{12} = 6$

$(2x-3y+6)(3x+2y-4) = -29 - ab$

$(2x-3y+6)(3x+2y-4) = -29 - (6)(-4)$

$(2x-3y+6)(3x+2y-4) = -29 + 24 = -5$

$(2x-3y+6, 3x+2y-4) = (1, -5), (-1, 5), (5, -1), (-5, 1)$

(i) $2x-3y+6 = 1$ かつ $3x+2y-4 = -5$

$2x-3y = -5$ かつ $3x+2y = -1$

$6x-9y = -15$ かつ $6x+4y = -2$

$-13y = -13$

$y=1$

$2x-3(1) = -5$

$2x = -2$

$x = -1$ (不適)

(ii) $2x-3y+6 = -1$ かつ $3x+2y-4 = 5$

$2x-3y = -7$ かつ $3x+2y = 9$

$6x-9y = -21$ かつ $6x+4y = 18$

$-13y = -39$

$y=3$

$2x-3(3) = -7$

$2x=2$

$x=1$

$(x, y) = (1, 3)$

(iii) $2x-3y+6 = 5$ かつ $3x+2y-4 = -1$

$2x-3y = -1$ かつ $3x+2y = 3$

$6x-9y = -3$ かつ $6x+4y = 6$

$-13y = -9$

$y = \frac{9}{13}$ (不適)

(iv) $2x-3y+6 = -5$ かつ $3x+2y-4 = 1$

$2x-3y = -11$ かつ $3x+2y = 5$

$6x-9y = -33$ かつ $6x+4y = 10$

$-13y = -43$

$y = \frac{43}{13}$ (不適)

したがって $(x, y) = (1, 3)$

(2) $x^2 - 4xy + 7y^2 + y - 14 = 0$

$x^2 - 4xy + 4y^2 + 3y^2 + y - 14 = 0$

$(x-2y)^2 + 3y^2 + y - 14 = 0$

$(x-2y)^2 = -3y^2 - y + 14$

$(x-2y)^2 = -3y^2 - y + 14 \ge 0$

$3y^2+y-14 \le 0$

$(3y+7)(y-2) \le 0$

$-\frac{7}{3} \le y \le 2$

$y$ は整数なので $y=-2, -1, 0, 1, 2$

(i) $y=-2$: $(x-2(-2))^2 = -3(-2)^2 - (-2) + 14 = -12+2+14=4$

$(x+4)^2 = 4$

$x+4 = \pm 2$

$x = -2, -6$

$(-2, -2), (-6, -2)$

(ii) $y=-1$: $(x-2(-1))^2 = -3(-1)^2 - (-1) + 14 = -3+1+14=12$

$(x+2)^2 = 12$ これは整数解を持たない。

(iii) $y=0$: $(x-2(0))^2 = -3(0)^2 - (0) + 14 = 14$

$x^2 = 14$ これは整数解を持たない。

(iv) $y=1$: $(x-2(1))^2 = -3(1)^2 - (1) + 14 = -3-1+14 = 10$

$(x-2)^2 = 10$ これは整数解を持たない。

(v) $y=2$: $(x-2(2))^2 = -3(2)^2 - (2) + 14 = -12-2+14 = 0$

$(x-4)^2 = 0$

$x=4$

$(4, 2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (1, 3)$

(2) $(x, y) = (-2, -2), (-6, -2), (4, 2)$