地点Aから木の先端Pを見上げた仰角が45°であり、木に向かって水平に4m近づいた地点BからPを見上げた仰角が60°である。このとき、木の高さを求める。

1. 問題の内容

地点Aから木の先端Pを見上げた仰角が45°であり、木に向かって水平に4m近づいた地点BからPを見上げた仰角が60°である。このとき、木の高さを求める。

2. 解き方の手順

木の根元をOとする。木の高さOPを$h$とする。地点Aから木の根元Oまでの距離を$x$とする。地点Bから木の根元Oまでの距離は$x-4$となる。

直角三角形OPAにおいて、

$\tan 45^\circ = \frac{h}{x}$

$1 = \frac{h}{x}$

$x = h$

直角三角形OPBにおいて、

$\tan 60^\circ = \frac{h}{x-4}$

$\sqrt{3} = \frac{h}{x-4}$

$h = \sqrt{3}(x-4)$

$x=h$を$h = \sqrt{3}(x-4)$に代入すると、

$h = \sqrt{3}(h-4)$

$h = \sqrt{3}h - 4\sqrt{3}$

$\sqrt{3}h - h = 4\sqrt{3}$

$(\sqrt{3}-1)h = 4\sqrt{3}$

$h = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$

分母を有理化するために、分母分子に$\sqrt{3}+1$をかける。

$h = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$

$h = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1}$

$h = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}$

$h = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)$

$h = 2(3+\sqrt{3})$

$h = 6+2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

木の高さは$6+2\sqrt{3}$ m。