$\frac{1}{2} \log_5 3 = \log_5 3^{\frac{1}{2}} = \log_5 \sqrt{3}$ $3 \log_5 \sqrt{2} = \log_5 (\sqrt{2})^3 = \log_5 2\sqrt{2}$ よって、与式は $\log_5 \sqrt{3} + \log_5 2\sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$ となります。

## 問題（ア）の内容

$\frac{1}{2} \log_5 3 + 3 \log_5 \sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$ を計算します。

## 解き方の手順

1. 係数を対数の中に入れる：$\log_a x^n = n \log_a x$ の性質を利用します。

$\frac{1}{2} \log_5 3 = \log_5 3^{\frac{1}{2}} = \log_5 \sqrt{3}$

$3 \log_5 \sqrt{2} = \log_5 (\sqrt{2})^3 = \log_5 2\sqrt{2}$

よって、与式は

$\log_5 \sqrt{3} + \log_5 2\sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$ となります。

2. 対数の和と差を、対数の中の積と商に変換する：$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$、$\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ の性質を利用します。

$\log_5 \sqrt{3} + \log_5 2\sqrt{2} = \log_5 (\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}) = \log_5 2\sqrt{6}$

よって、与式は

$\log_5 2\sqrt{6} - \log_5 \sqrt{24} = \log_5 \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{24}}$ となります。

3. 分数を整理する：

$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{24}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{4 \cdot 6}} = \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = 1$

4. 対数を計算する：

$\log_5 1 = 0$ (任意の $a$ に対して $\log_a 1 = 0$)

## 最終的な答え

0

## 問題（イ）の内容

$(\log_4 25 - \log_8 5) \log_5 2$ を計算します。

## 解き方の手順

1. 底の変換公式を使う：$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ の性質を利用します。底を5に変換します。

$\log_4 25 = \frac{\log_5 25}{\log_5 4} = \frac{2}{\log_5 4} = \frac{2}{\log_5 2^2} = \frac{2}{2\log_5 2} = \frac{1}{\log_5 2}$

$\log_8 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 8} = \frac{1}{\log_5 8} = \frac{1}{\log_5 2^3} = \frac{1}{3\log_5 2}$

2. 式を整理する：

$\log_4 25 - \log_8 5 = \frac{1}{\log_5 2} - \frac{1}{3\log_5 2} = \frac{3 - 1}{3\log_5 2} = \frac{2}{3\log_5 2}$

3. 掛け算を実行する：

$(\log_4 25 - \log_8 5) \log_5 2 = \frac{2}{3\log_5 2} \cdot \log_5 2 = \frac{2}{3}$

## 最終的な答え

2/3