不等式 $x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a < 0$ を満たす整数 $x$ が存在しないような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a < 0$ を満たす整数 $x$ が存在しないような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を因数分解します。

$x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a < 0$

$x^2 - (a-1)^2x + a(a-2) < 0$

$(x-a)(x-(a-2)) < 0$

したがって、不等式の解は $a-2 < x < a$ となります。

問題文より、この不等式を満たす整数 $x$ が存在しない $a$ の範囲を求める必要があります。

数直線で考えると、$a-2$ と $a$ の間に整数が存在しない条件は、

$a - (a-2) \le 1$であればよいことがわかります。

しかし、今回の問題では$a - (a-2) = 2$なので、間には必ず整数が存在します。

したがって、$a-2$と$a$の間に整数が存在しないためには、以下のいずれかの条件を満たす必要があります。

1. $a-2$と$a$の間に整数が存在しない。つまり、$n \le a -2 < a \le n+1$ となる整数$n$が存在する。

2. $a-2=a$ (これはあり得ない)。

この条件を満たすためには、次の不等式が成り立つ必要があります。

$n \le a-2$ かつ $a \le n+1$となる整数 $n$ が存在する。

変形すると、$n+2 \le a \le n+1$ となりますが、$n+2 \le n+1$ となる $n$ は存在しないため、上の解法では解けません。

整数 $x$ が存在しないということは、区間 $(a-2, a)$ の幅が1以下である必要があります。

もし区間の幅が1より大きければ、必ず整数を含むからです。

したがって、不等式を満たす整数 $x$ が存在しないためには、

$x$が整数値を取らない場合か、区間の中に整数が含まれない場合を考慮します。

$a-2 < x < a$を満たす整数$x$が存在しないとは、$a-2$と$a$の間に整数が存在しないということです。

この場合、ある整数$n$に対して、

$n \le a-2 < a \le n+1$となることが条件です。

$n \le a-2$ より、$n+2 \le a$

$a \le n+1$ より、$a \le n+1$

つまり、$n+2 \le a \le n+1$ ですが、これは明らかに矛盾しています。

したがって、$a=n+1$ または、$a-2 = n$の場合、$a = n+2$の時に、$a-2$と$a$の間に整数は存在しないので、これを考えます。

もし$a = n$ならば、$n-2 < x < n$より、$x=n-1$という整数解が存在するので$a=n$は不適です。

もし$a=n+1$ ならば、$n-1<x<n+1$より、$x=n$という整数解が存在するので$a=n+1$は不適です。

もし$a=n+2$ならば、$n<x<n+2$より、$x=n+1$という整数解が存在するので$a=n+2$は不適です。

$a-2 < x < a$を満たす整数解が存在しないということは、区間$(a-2, a)$の中に整数が含まれていないということです。

区間$(a-2, a)$の幅は2なので、常に整数解を持つように見えます。

これは、問題の解釈が間違っていると考えられます。

条件を再度確認すると、$x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a < 0$を満たす整数解$x$が存在しないということなので、$x^2 - (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 2a \ge 0$がすべての整数$x$に対して成り立つことです。

これは、$x^2 - (a-1)^2x + a(a-2) \ge 0$ となります。

この不等式の解は$x \le a-2$ かつ $x \ge a$ となります。

整数$x$は存在しないので、$a - (a-2) \le 1$となる必要がありますが、$a - (a-2) = 2 > 1$なので、この不等式が整数解を持たないようにする必要があります。

不等式 $(x-a)(x-(a-2)) < 0$ の解は $a-2 < x < a$ です。

この区間内に整数 $x$ が存在しない条件は、$a \le a-2+1$または $a-2 \ge a-1$のどちらかを満たすことです。

$a \le a-1$または$a-2 \ge a-1$となる$a$は存在しないので、

区間の中に整数が含まれていない状態を考えます。

すなわち、ある整数 $n$ に対して、$n \le a-2 < a \le n+1$または$n-1 \le a-2 < a \le n$ が成り立つ必要があります。

前者の場合、$n+2 \le a \le n+1$となり、このような$n$は存在しない。

後者の場合、$n+1 \le a \le n$となり、このような$n$も存在しない。

したがって、この区間$(a-2, a)$が整数を含まないような$a$は存在しない。

結論から言うと、与えられた条件を満たすためには、$a-2 < x < a$を満たす整数 $x$ が存在しない必要があるので、$a-(a-2)=2$より、$a-2 < x < a$の幅は常に2である。したがって$a-2$と$a$の間に整数が存在しないためには、例えば、$a=1.1$とすると、$a-2=-0.9$となる。すると、$-0.9 < x < 1.1$となり、整数$x=0, 1$が含まれる。しかし$a=1.5$とすると、$a-2=-0.5$となる。すると、$-0.5 < x < 1.5$となり、整数$x=0, 1$が含まれる。

もし、$a = 2$ならば、$a-2 = 0$となり、$0 < x < 2$となる。整数解$x=1$が存在するので、不適となる。

与えられた不等式を満たす整数$x$が存在しないような$a$の範囲は存在しません。

3. 最終的な答え

該当なし。そのような$a$の値は存在しない。