(1) $\frac{6x-3}{(x-2)(x+1)^2} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{(x+1)^2}$ が $x$ の恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。 (2) $ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+cx(x-2)=x^2-6$ が $x$ の恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

1. 問題の内容

(1) $\frac{6x-3}{(x-2)(x+1)^2} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{(x+1)^2}$ が $x$ の恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

(2) $ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+cx(x-2)=x^2-6$ が $x$ の恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた等式の両辺に $(x-2)(x+1)^2$ を掛けると

$6x-3 = a(x+1)^2 + b(x-2)(x+1) + c(x-2)$

$6x-3 = a(x^2+2x+1) + b(x^2-x-2) + c(x-2)$

$6x-3 = ax^2+2ax+a + bx^2-bx-2b + cx-2c$

$6x-3 = (a+b)x^2 + (2a-b+c)x + (a-2b-2c)$

この等式が恒等式であるためには、各係数が一致する必要がある。

$x^2$ の係数: $a+b=0$

$x$ の係数: $2a-b+c=6$

定数項: $a-2b-2c=-3$

$a+b=0$ より $b=-a$

これを残りの2式に代入すると

$2a-(-a)+c=6$ より $3a+c=6$

$a-2(-a)-2c=-3$ より $3a-2c=-3$

$3a+c=6$ と $3a-2c=-3$ の連立方程式を解く。

$3a+c=6$ より $c=6-3a$

$3a-2(6-3a)=-3$

$3a-12+6a=-3$

$9a=9$

$a=1$

$b=-a=-1$

$c=6-3a=6-3=3$

したがって、 $a=1$, $b=-1$, $c=3$

(2)

$ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+cx(x-2)=x^2-6$

$ax^2-ax+b(x^2-3x+2)+cx^2-2cx=x^2-6$

$ax^2-ax+bx^2-3bx+2b+cx^2-2cx=x^2-6$

$(a+b+c)x^2+(-a-3b-2c)x+2b=x^2-6$

この等式が恒等式であるためには、各係数が一致する必要がある。

$x^2$ の係数: $a+b+c=1$

$x$ の係数: $-a-3b-2c=0$

定数項: $2b=-6$

$2b=-6$ より $b=-3$

$a+b+c=1$ に $b=-3$ を代入すると $a-3+c=1$ より $a+c=4$

$-a-3b-2c=0$ に $b=-3$ を代入すると $-a-3(-3)-2c=0$ より $-a+9-2c=0$ より $a+2c=9$

$a+c=4$ と $a+2c=9$ の連立方程式を解く。

$a+2c=9$

$a+c=4$

辺々引くと $c=5$

$a+5=4$ より $a=-1$

したがって、$a=-1$, $b=-3$, $c=5$

3. 最終的な答え

(1) $a=1$, $b=-1$, $c=3$

(2) $a=-1$, $b=-3$, $c=5$