与えられた式 $8^{\log_2 6} \times (\frac{1}{4})^{\log_2 9}$ を計算する問題です。

## 問題 1 の解答

1. 問題の内容

与えられた式 $8^{\log_2 6} \times (\frac{1}{4})^{\log_2 9}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$8$ と $\frac{1}{4}$ を $2$ の累乗の形で表します。

$8 = 2^3$

$\frac{1}{4} = 2^{-2}$

与式は次のようになります。

$(2^3)^{\log_2 6} \times (2^{-2})^{\log_2 9}$

累乗の性質 $(a^b)^c = a^{bc}$ より

$2^{3\log_2 6} \times 2^{-2\log_2 9}$

指数法則 $a^b \times a^c = a^{b+c}$ より

$2^{3\log_2 6 - 2\log_2 9}$

対数の性質 $a\log_b c = \log_b c^a$ より

$2^{\log_2 6^3 - \log_2 9^2}$

$6^3 = 216$

$9^2 = 81$

$2^{\log_2 216 - \log_2 81}$

対数の性質 $\log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y}$ より

$2^{\log_2 \frac{216}{81}}$

$\frac{216}{81} = \frac{8 \times 27}{3 \times 27} = \frac{8}{3}$

$2^{\log_2 \frac{8}{3}}$

対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ より

$\frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$

## 問題 2 の解答

1. 問題の内容

$\log_2 3$, $\log_4 5$, $\log_{16} 49$ の大小関係を不等号を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、すべての対数を底を $2$ に変換します。

$\log_2 3$ はそのまま。

底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ より

$\log_4 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 4} = \frac{\log_2 5}{2} = \frac{1}{2} \log_2 5 = \log_2 5^{\frac{1}{2}} = \log_2 \sqrt{5}$

$\log_{16} 49 = \frac{\log_2 49}{\log_2 16} = \frac{\log_2 7^2}{4} = \frac{2\log_2 7}{4} = \frac{1}{2} \log_2 7 = \log_2 7^{\frac{1}{2}} = \log_2 \sqrt{7}$

それぞれの真数を比較します。

$3$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$

$\sqrt{5} \approx 2.236$

$\sqrt{7} \approx 2.646$

よって、$3 > \sqrt{7} > \sqrt{5}$

したがって、$\log_2 3 > \log_2 \sqrt{7} > \log_2 \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\log_4 5 < \log_{16} 49 < \log_2 3$