$a$ を定数とするとき、関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ ($0 \le x \le 2$) の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ ($0 \le x \le 2$) の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 3x^2 - 6ax + 2 = 3(x^2 - 2ax) + 2 = 3(x - a)^2 - 3a^2 + 2$

したがって、この2次関数の軸は $x = a$ であり、頂点の座標は $(a, -3a^2 + 2)$ です。

定義域は $0 \le x \le 2$ なので、$a$ の値によって場合分けをして最小値を求めます。

(i) $a < 0$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとります。

$y = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$

最小値は $2$ ($x = 0$)

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

頂点 $x=a$ が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

$y = -3a^2 + 2$

最小値は $-3a^2 + 2$ ($x = a$)

(iii) $a > 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、関数は単調減少なので、$x = 2$ で最小値をとります。

$y = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = -12a + 14$

最小値は $-12a + 14$ ($x = 2$)

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値 $2$ ($x = 0$)

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値 $-3a^2 + 2$ ($x = a$)

$a > 2$ のとき、最小値 $-12a + 14$ ($x = 2$)