(1) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ が実数の解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \le x \le 1$ を含むような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ が実数の解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \le x \le 1$ を含むような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ が実数の解をもたないということは、$x^2 + mx + m \ge 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つということである。

これは、2次関数 $y = x^2 + mx + m$ のグラフが常にx軸より上にあるか、x軸と接することを意味する。

したがって、判別式 $D$ が $D \le 0$ を満たす必要がある。

判別式 $D$ は、

$D = m^2 - 4m$

したがって、$m^2 - 4m \le 0$ を解く。

$m(m - 4) \le 0$ より、$0 \le m \le 4$

(2)

$f(x) = x^2 + mx + m$ とおく。

$f(x) < 0$ が区間 $0 \le x \le 1$ を含むためには、少なくとも $0 < x < 1$ の範囲で解が存在する必要がある。

これは、$f(0) < 0$ または $f(1) < 0$ であれば条件を満たす。

$f(0) = 0^2 + m(0) + m = m$

$f(1) = 1^2 + m(1) + m = 1 + 2m$

したがって、$m < 0$ または $1 + 2m < 0$、つまり $m < -\frac{1}{2}$ であれば良い。

ただし、上記は必要条件であり、十分条件ではない。

$0 \le x \le 1$ で解を持つためには、少なくとも区間 $0 \le x \le 1$ に解が存在する必要がある。

まず、$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要があるため、$m^2 - 4m > 0$ が必要である。

$m(m-4) > 0$ なので、$m < 0$ または $m > 4$。

次に、軸 $x = -\frac{m}{2}$ と $f(0)$ および $f(1)$ の符号を考慮する。

(i) $m < 0$ の場合

軸は正であり、$f(0) = m < 0$ なので、$f(1) > 0$ であっても $0 \le x \le 1$ に解が存在する可能性がある。

この場合は、$1+2m > 0$ つまり $m > -\frac{1}{2}$ となると解が存在しない。

したがって、$m<0$ と $1+2m<0$ つまり $m < -\frac{1}{2}$の共通範囲より、$m < -\frac{1}{2}$。

(ii) $m > 4$ の場合

軸は負であり、$f(1) = 1+2m > 0$ である。$f(0) = m>4>0$ なので、$f(0)>0$ かつ $f(1)>0$ である場合、0と1の間に解を持つためには、$f(x)=0$ の解の一つが0と1の間になければならない。

$f(x)=0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より$\alpha + \beta = -m$, $\alpha \beta = m$.

$\alpha < 0, \beta < 0$ であるため、$0 \le x \le 1$ に解は存在しない。

この場合、解は $0 \le x \le 1$ を含まない。

したがって、$m < -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le m \le 4$

(2) $m < -\frac{1}{2}$