$x, y$ は実数とする。次の命題の真偽を調べよ。また、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。 (1) $x > y \implies x - y > 0$ (2) $x \neq 0 \implies xy \neq 0$

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。次の命題の真偽を調べよ。また、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。

(1) $x > y \implies x - y > 0$

(2) $x \neq 0 \implies xy \neq 0$

2. 解き方の手順

(1) $x > y \implies x - y > 0$

元の命題：$x > y \implies x - y > 0$

$x - y > 0$ は $x > y$ と同値であるため、元の命題は真である。

逆：$x - y > 0 \implies x > y$

$x - y > 0$ は $x > y$ と同値であるため、逆も真である。

対偶：$x - y \leq 0 \implies x \leq y$

$x - y \leq 0$ は $x \leq y$ と同値であるため、対偶も真である。

裏：$x \leq y \implies x - y \leq 0$

$x - y \leq 0$ は $x \leq y$ と同値であるため、裏も真である。

(2) $x \neq 0 \implies xy \neq 0$

元の命題：$x \neq 0 \implies xy \neq 0$

$x \neq 0$ であっても、$y=0$ ならば $xy = 0$ となるため、元の命題は偽である。

反例：$x=1, y=0$

逆：$xy \neq 0 \implies x \neq 0$

$xy \neq 0$ ならば $x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ なので、逆は真である。

対偶：$xy = 0 \implies x = 0$

$xy = 0$ ならば $x = 0$ または $y = 0$ なので、対偶は偽である。

反例：$x=1, y=0$

裏：$x = 0 \implies xy = 0$

$x=0$ ならば $xy=0$ なので、裏は真である。

3. 最終的な答え

(1)

元の命題：真

逆：真

対偶：真

裏：真

(2)

元の命題：偽

逆：真

対偶：偽

裏：真