方程式 $x^2 + x + 1 = 0$ の解の一つを $\omega$ とするとき、$\omega^3$ の値を求め、また、$x^{2023} - x^2$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + x + 1 = 0$ の解の一つを $\omega$ とするとき、$\omega^3$ の値を求め、また、$x^{2023} - x^2$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\omega^3$ の値を求める。

$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解なので、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立ちます。

両辺に $(\omega - 1)$ を掛けると、

$(\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$

$\omega^3 - 1 = 0$

よって、$\omega^3 = 1$ です。

(2) $x^{2023} - x^2$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求める。

$x^2 + x + 1 = 0$ の解 $\omega$ は $\omega^3 = 1$ を満たします。

$x^{2023} = (x^3)^{674} \cdot x$

$x^3 = 1$ を代入すると、$x^{2023} = x$ になります。

したがって、$x^{2023} - x^2 = x - x^2$ です。

$x^2 + x + 1 = 0$ より、$x^2 = -x - 1$ を $x - x^2$ に代入すると、

$x - x^2 = x - (-x - 1) = x + x + 1 = 2x + 1$

したがって、$x^{2023} - x^2$ を $x^2 + x + 1$ で割ったときの余りは $2x + 1$ です。

3. 最終的な答え

$\omega^3 = 1$

余りは $2x + 1$