方程式 $x^2+x+1=0$ の解の一つを$\omega$とするとき、$\omega^3$の値を求め、さらに$x^{2023}-x^2$を$x^2+x+1$で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $x^2+x+1=0$ の解の一つを$\omega$とするとき、$\omega^3$の値を求め、さらに$x^{2023}-x^2$を$x^2+x+1$で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\omega$は$x^2+x+1=0$の解であるから、

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$が成り立つ。

$\omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)$であるから、$\omega^3-1=0$。

したがって、$\omega^3 = 1$。

次に、$x^{2023}-x^2$ を $x^2+x+1$ で割った余りを求める。

$x^{2023}-x^2$ を $x^2+x+1$ で割った商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$x^{2023}-x^2=(x^2+x+1)Q(x)+ax+b$

が成り立つ。

$\omega$は$x^2+x+1=0$の解であるから、

$\omega^{2023}-\omega^2=((\omega)^2+(\omega)+1)Q(\omega)+a\omega+b$

$\omega^{2023} = (\omega^3)^{674} \cdot \omega = 1^{674} \cdot \omega = \omega$

よって

$\omega-\omega^2=a\omega+b$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より $\omega^2 = -\omega - 1$ なので、

$\omega-(-\omega-1) = a\omega+b$

$2\omega + 1 = a\omega+b$

$\omega$は複素数なので、$a=2$、$b=1$。

したがって、余りは$2x+1$である。

3. 最終的な答え

$\omega^3 = 1$

余りは $2x+1$