(1) $(x+2)^4$ を $x^2$ で割ったときの余りを求めよ。 (2) $x^4$ を $(x-2)^2$ で割ったときの余りを求めよ。 (3) $n$ を $2$ 以上の整数とするとき、$(x+2)^n$ を $x^2$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(x+2)^4$ を $x^2$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) $x^4$ を $(x-2)^2$ で割ったときの余りを求めよ。

(3) $n$ を $2$ 以上の整数とするとき、$(x+2)^n$ を $x^2$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(x+2)^4$ を展開すると、

$(x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

$x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$ を $x^2$ で割ると、商は $x^2 + 8x + 24$ で、余りは $32x + 16$ となる。

(2) $x^4$ を $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ で割る。

$x^4 = (x^2 - 4x + 4)(x^2 + 4x + 12) + 32x - 48$

したがって、余りは $32x - 48$ となる。

あるいは、剰余の定理を用いることもできる。

$f(x) = x^4$ とする。$(x-2)^2$ で割ったときの余りは $ax+b$ とおける。

$f(x) = (x-2)^2 Q(x) + ax + b$

$f(2) = 16 = 2a + b$

$f'(x) = 4x^3 = 2(x-2) Q(x) + (x-2)^2 Q'(x) + a$

$f'(2) = 4 \cdot 2^3 = 32 = a$

$16 = 2(32) + b$ より $b = 16 - 64 = -48$

よって余りは $32x - 48$

(3) $(x+2)^n$ を $x^2$ で割ったときの余りは $ax+b$ とおける。

$(x+2)^n = x^2 Q(x) + ax + b$

$x = 0$ を代入すると $2^n = b$

両辺を $x$ で微分すると

$n(x+2)^{n-1} = 2x Q(x) + x^2 Q'(x) + a$

$x = 0$ を代入すると $n 2^{n-1} = a$

したがって、余りは $n 2^{n-1} x + 2^n$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $32x+16$

(2) $32x-48$

(3) $n 2^{n-1}x + 2^n$