右の図のように自然数1, 2, 3, ...を並べる。 (1) 左から1番目、上からm番目の位置にある自然数をmを用いて表す。 (2) 175は、左から何番目、上から何番目の位置にあるか。

1. 問題の内容

右の図のように自然数1, 2, 3, ...を並べる。

(1) 左から1番目、上からm番目の位置にある自然数をmを用いて表す。

(2) 175は、左から何番目、上から何番目の位置にあるか。

2. 解き方の手順

(1)

左から1番目の列にある数は、1, 2, 4, 7, ... となっている。

この数列の階差数列は、1, 2, 3, ... であるから、

この数列の第m項は、

$1 + \sum_{k=1}^{m-1} k = 1 + \frac{(m-1)m}{2} = \frac{m^2 - m + 2}{2}$

(2)

まず、175がどの列にあるかを調べる。各列の1番上の数は、1, 3, 6, 10,...である。この数列の第n項は、$\frac{n(n+1)}{2}$である。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 175$ となる最大のnを求める。

$n(n+1) \le 350$

$n=18$のとき、 $18 \times 19 = 342$

$n=19$のとき、 $19 \times 20 = 380$

したがって、175は左から18番目か19番目の列にある。

左から18番目の列の1番上の数は、$\frac{18 \times 19}{2} = 171$。この列は171, 172, 174, 177,...となるので175は存在しない。

左から19番目の列の1番上の数は、$\frac{19 \times 20}{2} = 190$。この列は左から1番目、2番目の列とは数字の増え方が逆である。この場合、左から19列目は 190, 189, 187, 184,...と減っていく。

そこで、左からn列目のm番目の数がAであったとすると、$A = \frac{n(n+1)}{2} + (m-1)$ (左から1列目、2列目のパターン) あるいは、$A = \frac{n(n+1)}{2} - (m-1)$ (上記以外のパターン)と表すことができる。

したがって、190からいくつ引けば175になるかを考えると、$190 - 175 = 15$。

$m-1 = 15$より、$m = 16$。

したがって、175は左から19番目、上から16番目にある。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{m^2 - m + 2}{2}$

(2) 左から19番目、上から16番目