(1) 実数 $x, y$ が $(x-4)^2 + (y+3)^2 \le 10$ を満たすとき、$3x+y$ の最大値を求める問題。 (2) $x, y$ が4つの不等式 $x \ge 0, y \ge 0, 2x+y \le 8, 2x+3y \le 12$ を同時に満たすとき、$x+2y+1$ の最大値と最小値を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 実数 $x, y$ が $(x-4)^2 + (y+3)^2 \le 10$ を満たすとき、$3x+y$ の最大値を求める問題。

(2) $x, y$ が4つの不等式 $x \ge 0, y \ge 0, 2x+y \le 8, 2x+3y \le 12$ を同時に満たすとき、$x+2y+1$ の最大値と最小値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $3x+y = k$ とおくと、$y = -3x + k$ となる。これを $(x-4)^2 + (y+3)^2 \le 10$ に代入する。

$(x-4)^2 + (-3x + k + 3)^2 \le 10$

$x^2 - 8x + 16 + 9x^2 + (k+3)^2 - 6(k+3)x \le 10$

$10x^2 - (8+6(k+3))x + 16 + (k+3)^2 - 10 \le 0$

$10x^2 - (6k+26)x + k^2 + 6k + 15 \le 0$

この2次不等式を満たす実数 $x$ が存在するためには、2次方程式 $10x^2 - (6k+26)x + k^2 + 6k + 15 = 0$ が実数解を持たなければならない。

したがって、判別式 $D \ge 0$ でなければならない。

$D = (6k+26)^2 - 40(k^2+6k+15) \ge 0$

$36k^2 + 312k + 676 - 40k^2 - 240k - 600 \ge 0$

$-4k^2 + 72k + 76 \ge 0$

$k^2 - 18k - 19 \le 0$

$(k-19)(k+1) \le 0$

$-1 \le k \le 19$

したがって、$3x+y$ の最大値は 19。

(2)

まず、与えられた不等式から $x, y$ の存在範囲を図示する。

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x+y \le 8$, $2x+3y \le 12$

それぞれの不等式に対応する直線を考える。

$x=0, y=0, 2x+y=8, 2x+3y=12$

$2x+y=8$ と $2x+3y=12$ の交点を求める。

$2x+y=8$ より $y = 8-2x$

$2x+3(8-2x)=12$

$2x+24-6x = 12$

$-4x = -12$

$x = 3$

$y = 8 - 2(3) = 2$

交点は (3, 2)。

領域の頂点は (0, 0), (4, 0), (3, 2), (0, 4)。

$x+2y+1 = k$ とおく。

各頂点での $k$ の値を求める。

(0, 0) のとき、$k = 1$

(4, 0) のとき、$k = 5$

(3, 2) のとき、$k = 3 + 2(2) + 1 = 8$

(0, 4) のとき、$k = 0 + 2(4) + 1 = 9$

したがって、最大値は 9、最小値は 1。

3. 最終的な答え

(1) 19

(2) 最大値: 9、最小値: 1