与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列$A$は以下の通りです。 $ A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列$A$は以下の通りです。

$A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する余因子展開を利用します。ここでは、第1行に関して余因子展開を行います。

$det(A) = 1 \cdot C_{11} + 1 \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$は$(i, j)$成分に関する余因子です。余因子は、$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$で計算されます。$M_{ij}$は小行列式であり、$A$から$i$行と$j$列を取り除いた行列の行列式です。

まず、$M_{11}$を計算します。

$M_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(2\cdot1 - 0\cdot1) - 1(3\cdot1 - 0\cdot(-1)) + 1(3\cdot1 - 2\cdot(-1)) = 2(2) - 1(3) + 1(5) = 4 - 3 + 5 = 6$

したがって、$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 \cdot 6 = 6$

次に、$M_{12}$を計算します。

$M_{12} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0(2\cdot1 - 0\cdot1) - 1(1\cdot1 - 0\cdot(-2)) + 1(1\cdot1 - 2\cdot(-2)) = 0 - 1(1) + 1(5) = -1 + 5 = 4$

したがって、$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -1 \cdot 4 = -4$

次に、$M_{13}$を計算します。

$M_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0(3\cdot1 - 0\cdot(-1)) - 2(1\cdot1 - 0\cdot(-2)) + 1(1\cdot(-1) - 3\cdot(-2)) = 0 - 2(1) + 1(-1 + 6) = -2 + 5 = 3$

したがって、$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = 1 \cdot 3 = 3$

最後に、$C_{14} = 0$なので、計算する必要はありません。

行列式は以下のようになります。

$det(A) = 1 \cdot 6 + 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 3 + 0 \cdot C_{14} = 6 - 4 + 6 + 0 = 8$

3. 最終的な答え

行列式 $det(A) = 8$