整数 $n$ について、命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」を証明します。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」を証明します。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明します。

元の命題の対偶は、「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」です。

$n$ が偶数であると仮定すると、$n$ は整数 $k$ を用いて、$n = 2k$ と表すことができます。

このとき、$n^2$ は、

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$

と表されます。$2k^2$ は整数なので、$n^2$ は 2 の倍数であり、したがって偶数です。

よって、$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数であることが証明されました。

これは元の命題の対偶が真であることを示しているので、元の命題「$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」も真です。

3. 最終的な答え

$n^2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である。（証明終わり）