2直線 $y = 3x$ と $y = -2x$ のなす角 $\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$) を求める問題です。

1. 問題の内容

2直線 $y = 3x$ と $y = -2x$ のなす角 $\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$) を求める問題です。

2. 解き方の手順

2直線のなす角を求めるには、それぞれの直線の傾きからtanの加法定理を用いる方法があります。

まず、それぞれの直線の傾きを $m_1$ と $m_2$ とします。

$y = 3x$ の傾きは $m_1 = 3$ であり、$y = -2x$ の傾きは $m_2 = -2$ です。

次に、それぞれの直線が $x$ 軸の正の方向となす角をそれぞれ $\alpha$ と $\beta$ とします。

このとき、$\tan \alpha = m_1 = 3$ 、$\tan \beta = m_2 = -2$ となります。

2直線のなす角 $\theta$ は $|\alpha - \beta|$ で表されます。今回は $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ であることから、$\theta = |\alpha - \beta|$ を求めます。

$\tan \theta = \tan |\alpha - \beta| = |\tan(\alpha - \beta)|$

$\tan (\alpha - \beta)$ の公式は次のようになります。

$\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

これに $\tan \alpha = 3$ と $\tan \beta = -2$ を代入します。

$\tan (\alpha - \beta) = \frac{3 - (-2)}{1 + 3(-2)} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1$

したがって、$|\tan (\alpha - \beta)| = |-1| = 1$

$\tan \theta = 1$ となる $\theta$ は、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ の範囲では $\theta = 45^\circ$ となります。

3. 最終的な答え

$\theta = 45^\circ$