関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, 2t^2 + t)$ とおきます。

次に、関数 $y = 2x^2 + x$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 4x + 1$

点 $(t, 2t^2 + t)$ における接線の傾きは $4t + 1$ です。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (2t^2 + t) = (4t + 1)(x - t)$

この接線が点 $(-2, -12)$ を通るので、$x = -2$, $y = -12$ を代入します。

$-12 - (2t^2 + t) = (4t + 1)(-2 - t)$

$-12 - 2t^2 - t = -8t - 4t^2 - 2 - t$

$2t^2 + 8t - 10 = 0$

$t^2 + 4t - 5 = 0$

$(t + 5)(t - 1) = 0$

$t = -5$ または $t = 1$

(i) $t = -5$ のとき

接点の座標は $(-5, 2(-5)^2 + (-5)) = (-5, 50 - 5) = (-5, 45)$

接線の傾きは $4(-5) + 1 = -20 + 1 = -19$

接線の方程式は $y - 45 = -19(x + 5)$

$y - 45 = -19x - 95$

$y = -19x - 50$

(ii) $t = 1$ のとき

接点の座標は $(1, 2(1)^2 + 1) = (1, 3)$

接線の傾きは $4(1) + 1 = 5$

接線の方程式は $y - 3 = 5(x - 1)$

$y - 3 = 5x - 5$

$y = 5x - 2$

3. 最終的な答え

$y = -19x - 50$

$y = 5x - 2$