与えられた複素数 $\frac{5}{1-3i} - \frac{4-i}{3+i}$ を $a+bi$ の形で表す問題です。ここで、$a$ と $b$ は実数です。

1. 問題の内容

与えられた複素数 $\frac{5}{1-3i} - \frac{4-i}{3+i}$ を $a+bi$ の形で表す問題です。ここで、$a$ と $b$ は実数です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの複素数の分母を実数化します。

$\frac{5}{1-3i}$ の分母を実数化するために、分母と分子に $1+3i$ をかけます。

$$\frac{5}{1-3i} = \frac{5(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{5(1+3i)}{1 - (3i)^2} = \frac{5(1+3i)}{1 - 9i^2} = \frac{5(1+3i)}{1 - 9(-1)} = \frac{5(1+3i)}{10} = \frac{1+3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$$

$\frac{4-i}{3+i}$ の分母を実数化するために、分母と分子に $3-i$ をかけます。

$$\frac{4-i}{3+i} = \frac{(4-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{12 - 4i - 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{12 - 7i - 1}{9 - (-1)} = \frac{11 - 7i}{10} = \frac{11}{10} - \frac{7}{10}i$$

次に、それぞれの複素数を計算します。

$$\frac{5}{1-3i} - \frac{4-i}{3+i} = \left( \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i \right) - \left( \frac{11}{10} - \frac{7}{10}i \right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i - \frac{11}{10} + \frac{7}{10}i$$

$$= \left( \frac{1}{2} - \frac{11}{10} \right) + \left( \frac{3}{2} + \frac{7}{10} \right)i = \left( \frac{5}{10} - \frac{11}{10} \right) + \left( \frac{15}{10} + \frac{7}{10} \right)i$$

$$= -\frac{6}{10} + \frac{22}{10}i = -\frac{3}{5} + \frac{11}{5}i$$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{5} + \frac{11}{5}i$