第3項が17、初項から第6項までの和が120である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求め、さらに $100 < a_n < 200$ を満たす項の和を求める。

## 問題1

1. 問題の内容

第3項が17、初項から第6項までの和が120である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求め、さらに $100 < a_n < 200$ を満たす項の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく ($a$: 初項, $d$: 公差)。

* 第3項が17であるから、

$a_3 = a + 2d = 17$ ... (1)

* 初項から第6項までの和が120であるから、

$S_6 = \frac{6}{2}(2a + 5d) = 3(2a + 5d) = 120$

$2a + 5d = 40$ ... (2)

(1) x 2 - (2)より、

$4d - 5d = 34 - 40$

$-d = -6$

$d = 6$

(1)に代入して、

$a + 2(6) = 17$

$a + 12 = 17$

$a = 5$

したがって、一般項は、

$a_n = 5 + (n-1)6 = 6n - 1$

次に、$100 < a_n < 200$ を満たす $n$ を求める。

$100 < 6n - 1 < 200$

$101 < 6n < 201$

$\frac{101}{6} < n < \frac{201}{6}$

$16.83... < n < 33.5$

$n$ は整数であるから、 $17 \leq n \leq 33$。

$a_{17} = 6(17) - 1 = 101$

$a_{33} = 6(33) - 1 = 197$

$100 < a_n < 200$ を満たす項の和は、

$S = \frac{(33 - 17 + 1)}{2}(a_{17} + a_{33}) = \frac{17}{2}(101 + 197) = \frac{17}{2}(298) = 17 \times 149 = 2533$

3. 最終的な答え

一般項: $a_n = 6n - 1$

$100 < a_n < 200$ を満たす項の和: $2533$