項数 $n$ の数列 $1 \cdot n, 2 \cdot (n-1), 3 \cdot (n-2), \dots, n \cdot 1$ がある。 (1) この数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表せ。 (2) この数列の和を求めよ。

1. 問題の内容

項数 $n$ の数列 $1 \cdot n, 2 \cdot (n-1), 3 \cdot (n-2), \dots, n \cdot 1$ がある。

(1) この数列の第 $k$ 項を $k$ の式で表せ。

(2) この数列の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第 $k$ 項を $a_k$ とすると、

$a_1 = 1 \cdot n$

$a_2 = 2 \cdot (n-1)$

$a_3 = 3 \cdot (n-2)$

$\dots$

$a_k = k \cdot (n - (k-1)) = k(n-k+1)$

(2) 数列の和を $S$ とすると、

$S = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k(n-k+1) = \sum_{k=1}^{n} (nk - k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} ( (n+1)k - k^2 )$

$= (n+1) \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} k^2$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を使うと、

$S = (n+1) \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)}{6} [3(n+1) - (2n+1)]$

$= \frac{n(n+1)}{6} [3n+3 - 2n - 1] = \frac{n(n+1)}{6} [n+2]$

$= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 第 $k$ 項: $k(n-k+1)$

(2) 数列の和: $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$