全体集合$U$の部分集合$A$, $B$に対して、$n(U) = 100$, $n(A) = 65$, $n(B) = 42$, $n(A \cap B) = 17$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cap B$

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A$, $B$に対して、$n(U) = 100$, $n(A) = 65$, $n(B) = 42$, $n(A \cap B) = 17$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cap B$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ の要素の個数を求めるには、全体集合$U$の要素の個数から$A$の要素の個数を引きます。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$

(2) $A \cup B$ の要素の個数を求めるには、和集合の公式を用います。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ の要素の個数を求めるには、ド・モルガンの法則を用います。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$

したがって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

(4) $\overline{A} \cap B$ の要素の個数を求めるには、集合$B$から$A \cap B$の要素を取り除きます。

$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$

計算を実行します。

(1) $n(\overline{A}) = 100 - 65 = 35$

(2) $n(A \cup B) = 65 + 42 - 17 = 90$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 100 - 90 = 10$

(4) $n(\overline{A} \cap B) = 42 - 17 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 35$

(2) $n(A \cup B) = 90$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 10$

(4) $n(\overline{A} \cap B) = 25$