関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフ上の点 $(a, 2a^2 + a)$ における接線の方程式は $y = (4a+1)x - 2a^2$ で与えられています。この接線が点 $(-2, -12)$ を通るとき、接点のx座標 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフ上の点 $(a, 2a^2 + a)$ における接線の方程式は $y = (4a+1)x - 2a^2$ で与えられています。この接線が点 $(-2, -12)$ を通るとき、接点のx座標 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

接線の方程式 $y = (4a+1)x - 2a^2$ が点 $(-2, -12)$ を通るので、この点を代入します。

$$-12 = (4a+1)(-2) - 2a^2$$

この式を整理して、$a$ についての二次方程式を解きます。

$$-12 = -8a - 2 - 2a^2$$

$$2a^2 + 8a - 10 = 0$$

両辺を2で割ります。

$$a^2 + 4a - 5 = 0$$

この二次方程式を因数分解します。

$$(a+5)(a-1) = 0$$

したがって、$a = -5$ または $a = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -5$ または $a = 1$