男子4人、女子3人の合計7人が、以下の条件で並ぶ並び方は何通りあるか。 (1) 無条件に1列に並ぶ (2) 円形に並ぶ (3) 男子が両端にくるように1列に並ぶ (4) 女子3人が隣り合うように1列に並ぶ (5) 女子が隣り合わないように1列に並ぶ

1. 問題の内容

男子4人、女子3人の合計7人が、以下の条件で並ぶ並び方は何通りあるか。

(1) 無条件に1列に並ぶ

(2) 円形に並ぶ

(3) 男子が両端にくるように1列に並ぶ

(4) 女子3人が隣り合うように1列に並ぶ

(5) 女子が隣り合わないように1列に並ぶ

2. 解き方の手順

(1) 無条件に1列に並ぶ場合:

7人全員を並べるので、7の階乗 $7!$ を計算します。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(2) 円形に並ぶ場合:

円順列の公式は $(n-1)!$ です。7人の場合は $(7-1)! = 6!$ となります。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(3) 男子が両端にくるように1列に並ぶ場合:

まず、両端に男子を配置します。4人の中から2人を選んで並べるので $4P2 = 4 \times 3 = 12$ 通りです。

残りの5人（男子2人、女子3人）を並べる方法は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

したがって、全部で $12 \times 120 = 1440$ 通りです。

(4) 女子3人が隣り合うように1列に並ぶ場合:

女子3人をひとまとめにして考え、1つのグループとします。すると、男子4人と合わせて5つのグループを並べることになります。これは $5! = 120$ 通りです。

また、女子3人の並び方も $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りあります。

したがって、全部で $120 \times 6 = 720$ 通りです。

(5) 女子が隣り合わないように1列に並ぶ場合:

まず男子4人を並べます。これは $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

次に、男子の間の5つのスペース（両端を含む）から3つを選んで女子を配置します。これは $5P3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りです。

したがって、全部で $24 \times 60 = 1440$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) 720通り

(3) 1440通り

(4) 720通り

(5) 1440通り