線分 $BC$ 上に点 $P$ を、$\triangle ABP$ と $\triangle APC$ の面積比が $1:2$ になるようにとるとき、直線 $AP$ の式を求めなさい。

1. 問題の内容

線分 $BC$ 上に点 $P$ を、$\triangle ABP$ と $\triangle APC$ の面積比が $1:2$ になるようにとるとき、直線 $AP$ の式を求めなさい。

2. 解き方の手順

問題文からは座標の情報が不足しているため、一般的な解法を示すことができません。しかし、以下の前提条件があれば問題を解くことができます。

* 点 $A$, $B$, $C$ の座標が分かっている

* 直線 $BC$ の式が求まる

この前提条件があるとき、以下の手順で問題を解きます。

1. $\triangle ABP$ と $\triangle APC$ の面積比が $1:2$ であることから、$BP:PC$ の比を求める。

$\triangle ABP$ と $\triangle APC$ は、底辺をそれぞれ $BP$ と $PC$ と考えると、高さは共通（点 $A$ から直線 $BC$ への垂線）なので、面積比は底辺の比に等しい。

したがって、$BP:PC = 1:2$ である。

2. 点 $B$ と点 $C$ の座標を使って、$1$ で求めた比率で線分 $BC$ を内分する点 $P$ の座標を求める。点 $B$ の座標を $(x_B, y_B)$, 点 $C$ の座標を $(x_C, y_C)$ とすると、点 $P$ の座標 $(x_P, y_P)$ は、内分点の公式から以下のようになる。

$x_P = \frac{2x_B + 1x_C}{1+2} = \frac{2x_B + x_C}{3}$

$y_P = \frac{2y_B + 1y_C}{1+2} = \frac{2y_B + y_C}{3}$

3. 点 $A$ と点 $P$ の座標を使って、直線 $AP$ の式を求める。

点 $A$ の座標を $(x_A, y_A)$ とすると、直線 $AP$ の傾き $m$ は以下のようになる。

$m = \frac{y_P - y_A}{x_P - x_A}$

直線 $AP$ の式は、$y - y_A = m(x - x_A)$ で表される。これを整理すると、直線 $AP$ の式が得られる。

3. 最終的な答え

$y - y_A = \frac{y_P - y_A}{x_P - x_A} (x - x_A)$

ただし、$x_P = \frac{2x_B + x_C}{3}$、$y_P = \frac{2y_B + y_C}{3}$