ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (-1, 3, 2)$ の両方に直交する単位ベクトルを求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ とベクトル $\vec{b} = (-1, 3, 2)$ の両方に直交する単位ベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交するベクトルを求めます。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算することで得られます。

$\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) - (3)(3) \\ (3)(-1) - (2)(2) \\ (2)(3) - (1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 9 \\ -3 - 4 \\ 6 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix}$

したがって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ に直交するベクトルは $(-7, -7, 7)$ です。

次に、このベクトルの大きさを計算します。

$||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49 + 49} = \sqrt{3 \times 49} = 7\sqrt{3}$

最後に、単位ベクトルを計算します。これは、ベクトルをその大きさで割ることで得られます。

単位ベクトル $\vec{n}$ は次のようになります。

$\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \frac{1}{7\sqrt{3}}\begin{pmatrix} -7 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \end{pmatrix}$

また、このベクトルの符号を反転させたものも条件を満たします。

$\begin{pmatrix} \sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

求める単位ベクトルは $\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \end{pmatrix}$ および $\begin{pmatrix} \sqrt{3}/3 \\ \sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/3 \end{pmatrix}$ です。