円 $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ 上の点 $(6, 8)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ 上の点 $(6, 8)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 円の中心と半径を確認します。円の方程式は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形で、中心は $(a, b)$、半径は $r$ です。この問題では、中心は $(3, 4)$、半径は $r = \sqrt{25} = 5$ です。

* 円の中心と接点を通る直線の傾きを求めます。円の中心 $(3, 4)$ と接点 $(6, 8)$ を通る直線の傾き $m_1$ は、次の式で計算できます。

$m_1 = \frac{8 - 4}{6 - 3} = \frac{4}{3}$

* 接線は、円の中心と接点を通る直線に垂直です。したがって、接線の傾き $m_2$ は $m_1$ の逆数の符号を反転させたものになります。

$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{3}{4}$

* 接点の座標と接線の傾きを使って、接線の方程式を求めます。接点 $(6, 8)$ を通り、傾きが $m_2 = -\frac{3}{4}$ の直線の方程式は、次の式で表されます。

$y - 8 = -\frac{3}{4}(x - 6)$

* 上記の方程式を整理して、接線の方程式を標準形または一般形にします。

$y - 8 = -\frac{3}{4}x + \frac{18}{4}$

$4(y - 8) = -3x + 18$

$4y - 32 = -3x + 18$

$3x + 4y = 50$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $3x + 4y = 50$ です。