直方体ABCD-EFGHにおいて、平面FGHと平面EBDのなす角を求める問題です。直方体の各辺の長さは、AE=3, AD=3√2, DC=3√2です。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、平面FGHと平面EBDのなす角を求める問題です。直方体の各辺の長さは、AE=3, AD=3√2, DC=3√2です。

2. 解き方の手順

平面FGHと平面EBDのなす角を求めるために、それぞれの平面に垂直なベクトルを求め、そのベクトルのなす角を計算します。

まず、座標を設定します。点Eを原点(0,0,0)とし、EAをx軸の正の方向、EFをy軸の正の方向、EHをz軸の正の方向とします。

このとき、各点の座標は次のようになります。

E(0,0,0), A(3,0,0), B(3,3√2,0), C(0,3√2,0), D(-3,0,0), F(0,3√2,0), G(0,3√2,3), H(0,0,3)

平面FGHに垂直なベクトルn1は、EAに平行なベクトルなので、n1 = (1,0,0) となります。

平面EBDに垂直なベクトルn2を求めます。

ベクトルEB = (3,3√2,0)

ベクトルED = (-3,0,0)

n2 = (a,b,c)とすると、

n2・EB = 3a + 3√2b = 0

n2・ED = -3a = 0

-3a=0より、a=0。

3a + 3√2b = 0 より、b=0。

したがって、n2 = (0,0,1)。ただし、a, b, cは0でない解を持ちません。

平面EBDを別の方法で考えます。

点E(0,0,0), B(3, 3√2, 0), D(-3,0,0)を通る平面の式をax + by + cz = 0とします。

3a + 3√2b = 0

-3a = 0

これからa=0。bも0となり、平面の式はcz = 0。つまりz=0となり、xy平面となります。この平面に垂直なベクトルは(0,0,1)となります。

FGHを通る平面は、x = 0に平行な平面なので、その法線ベクトルは(1,0,0)となります。

したがって、平面FGHに垂直なベクトルはn1 = (1,0,0)です。

平面EBDはxy平面(z=0)であるため、その法線ベクトルはn2 = (0,0,1)です。

n1とn2のなす角θを求めます。

cosθ = (n1・n2) / (|n1||n2|) = (1*0 + 0*0 + 0*1) / (1*1) = 0

θ = 90°

しかし、求めるのは平面のなす角なので、90°ではありません。問題文をよく読むと、直方体のAD=3√2, DC=3√2であるので、面ABCDは正方形です。また、AE=3です。面FGHに垂直なベクトルは(1,0,0)です。面EBDの法線ベクトルは(0,0,1)ではありません。面EBDはxy平面ではありません。

E(0,0,0), B(3,3√2,0), D(-3,0,0)

平面EBDの式をax+by+cz=0と置きます。

3a+3√2b = 0

-3a = 0

よって、a=0, b=

0. したがって、面EBDの式は、z=0。面FGHの法線ベクトルは(1,0,0)。

では、別解を考えます。

平面FGHに平行で点Bを通る平面を考えます。これは、面ABCDに平行な平面となります。

平面EBDと平面ABCDとの交線を考えると、BDとなります。

BDとFGのなす角を考えると、これは45°となります。

3. 最終的な答え

③ 45°