$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ で、$\vec{a}+\vec{b}$ と $6\vec{a}-\vec{b}$ が垂直であるとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求め、さらに $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ で、$\vec{a}+\vec{b}$ と $6\vec{a}-\vec{b}$ が垂直であるとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求め、さらに $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

$\vec{a}+\vec{b}$ と $6\vec{a}-\vec{b}$ が垂直であることから、

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (6\vec{a}-\vec{b}) = 0$

が成り立つ。

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (6\vec{a}-\vec{b})$ を展開すると、

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (6\vec{a}-\vec{b}) = 6|\vec{a}|^2 + 6\vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{a}\cdot\vec{b} - |\vec{b}|^2 = 6|\vec{a}|^2 + 5\vec{a}\cdot\vec{b} - |\vec{b}|^2$

となる。

問題文より、$|\vec{a}|=2$ なので $|\vec{a}|^2 = 4$ であり、$|\vec{b}|=3$ なので $|\vec{b}|^2 = 9$ である。

これらを代入すると、

$6|\vec{a}|^2 + 5\vec{a}\cdot\vec{b} - |\vec{b}|^2 = 6(4) + 5\vec{a}\cdot\vec{b} - 9 = 24 + 5\vec{a}\cdot\vec{b} - 9 = 15 + 5\vec{a}\cdot\vec{b}$

したがって、

$15 + 5\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

$5\vec{a}\cdot\vec{b} = -15$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = -3$

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の定義より、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

$\cos{\theta} = \frac{-3}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\theta = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

$\cos{\theta} = -\frac{1}{2}$

$\theta = 120^\circ$