中心O、半径2の円の内部の点Pを通る弦ABについて、$PA \cdot PB = 1$ であるとき、線分OPの長さを求める。

1. 問題の内容

中心O、半径2の円の内部の点Pを通る弦ABについて、$PA \cdot PB = 1$ であるとき、線分OPの長さを求める。

2. 解き方の手順

方べきの定理を適用する。点Pを通り、円の中心Oを通る直線を考え、円との交点をそれぞれC, Dとする。

このとき、$PC \cdot PD = R^2 - OP^2$ が成り立つ。ここでRは円の半径である。

問題文より、$PA \cdot PB = 1$ である。

C, Dは点Pに関して円周上にあり、Oに関して対称であるから、

$PC = R - OP$

$PD = R + OP$

である。

したがって、

$PC \cdot PD = (R - OP)(R + OP) = R^2 - OP^2$

となる。

与えられた条件より、$PA \cdot PB = 1$ かつ R=2なので、

$R^2 - OP^2 = PA \cdot PB$

$2^2 - OP^2 = 1$

$4 - OP^2 = 1$

$OP^2 = 3$

$OP = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$