円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=3$, $CD=3$, $\angle B = 60^{\circ}$である。このとき、$AC$, $\angle D$, $AD$, 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=3$, $CD=3$, $\angle B = 60^{\circ}$である。このとき、$AC$, $\angle D$, $AD$, 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AC$を求める。

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^{\circ}$

$AC^2 = 16 + 9 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 25 - 12 = 13$

$AC = \sqrt{13}$

(2) $\angle D$を求める。

円に内接する四角形の対角の和は$180^{\circ}$なので、

$\angle D = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$

(3) $AD$を求める。

$\triangle ADC$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos D$

$13 = AD^2 + 3^2 - 2 \cdot AD \cdot 3 \cdot \cos 120^{\circ}$

$13 = AD^2 + 9 - 6 \cdot AD \cdot (-\frac{1}{2})$

$13 = AD^2 + 9 + 3AD$

$AD^2 + 3AD - 4 = 0$

$(AD+4)(AD-1) = 0$

$AD>0$より、$AD = 1$

(4) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は$\triangle ABC$の面積と$\triangle ADC$の面積の和で求められる。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin D = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積は$3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$AC = \sqrt{13}$

$\angle D = 120^{\circ}$

$AD = 1$

四角形ABCDの面積 = $\frac{15\sqrt{3}}{4}$