与えられた正四角錐について、以下の問いに答えます。 (1) 側面積を求めます。 (2) 側面と底面のなす角を求めます。

1. 問題の内容

与えられた正四角錐について、以下の問いに答えます。

(1) 側面積を求めます。

(2) 側面と底面のなす角を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 側面積の計算

正四角錐の側面は合同な二等辺三角形です。

底面の1辺の長さを $a$ とすると、側面の二等辺三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ です。

したがって、側面の二等辺三角形の面積は

$\frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

正四角錐の側面は4つの合同な三角形からなるので、側面積は

$4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}a^2$

(2) 側面と底面のなす角の計算

底面の正方形の中心をEとすると、AEは正四角錐の高さになります。

また、底面の1辺の中点をMとすると、AMは側面と底面のなす角を考える際に必要な線分になります。

点Aから底面に下ろした垂線の足Eは正方形の中心なので、EM = $\frac{a}{2}$です。

三角形AEMは直角三角形なので、$\tan(\angle AME) = \frac{AE}{EM}$ となります。

AEの長さを計算します。AD = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ であり、DE = $\frac{a}{\sqrt{2}}$ です。

三角形ADEは直角三角形なので、$AE^2 + DE^2 = AD^2$ が成り立ちます。

したがって、$AE^2 = AD^2 - DE^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2 - (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = \frac{3}{4}a^2 - \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{4}a^2$

ゆえに、$AE = \frac{a}{2}$ です。

$\tan(\angle AME) = \frac{AE}{EM} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}} = 1$

したがって、$\angle AME = 45^\circ$

3. 最終的な答え

(1) 側面積：$\sqrt{3}a^2$

(2) 側面と底面のなす角：$45^\circ$