点$(-2, 3)$を通り、直線$3x - 5y - 12 = 0$に垂直な直線と平行な直線のそれぞれの方程式を求める。

1. 問題の内容

点$(-2, 3)$を通り、直線$3x - 5y - 12 = 0$に垂直な直線と平行な直線のそれぞれの方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線$3x - 5y - 12 = 0$を変形して傾きを求める。

$3x - 5y - 12 = 0$

$5y = 3x - 12$

$y = \frac{3}{5}x - \frac{12}{5}$

この直線の傾きは$\frac{3}{5}$である。

(1) 与えられた直線に平行な直線の方程式を求める。

平行な直線の傾きは同じなので、求める直線の傾きも$\frac{3}{5}$である。

点$(-2, 3)$を通り傾きが$\frac{3}{5}$の直線の方程式は、

$y - 3 = \frac{3}{5}(x - (-2))$

$y - 3 = \frac{3}{5}(x + 2)$

$5(y - 3) = 3(x + 2)$

$5y - 15 = 3x + 6$

$3x - 5y + 21 = 0$

(2) 与えられた直線に垂直な直線の方程式を求める。

垂直な直線の傾きは、与えられた直線の傾きの逆数の符号を変えたものである。

与えられた直線の傾きは$\frac{3}{5}$なので、垂直な直線の傾きは$-\frac{5}{3}$である。

点$(-2, 3)$を通り傾きが$-\frac{5}{3}$の直線の方程式は、

$y - 3 = -\frac{5}{3}(x - (-2))$

$y - 3 = -\frac{5}{3}(x + 2)$

$3(y - 3) = -5(x + 2)$

$3y - 9 = -5x - 10$

$5x + 3y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

与えられた直線に平行な直線の方程式： $3x - 5y + 21 = 0$

与えられた直線に垂直な直線の方程式： $5x + 3y + 1 = 0$