ある競技で、6試合のうち3勝すれば勝ち抜けとなる。ただし、対戦相手は毎回異なり、引き分けはなく、3勝したらそれ以降の試合はない。最初に1勝した場合、この競技を勝ち抜くための勝敗の順は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

ある競技で、6試合のうち3勝すれば勝ち抜けとなる。ただし、対戦相手は毎回異なり、引き分けはなく、3勝したらそれ以降の試合はない。最初に1勝した場合、この競技を勝ち抜くための勝敗の順は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

最初に1勝しているので、残り2勝すれば勝ち抜けです。

残り試合数は最大で5試合ですが、3敗すると勝ち抜けできなくなるので、最大試合数は、2勝するまでの試合数で決まります。

2勝目をあげる試合数で場合分けします。

(1) 2勝目を2試合目で上げる場合

1勝1勝となり、この場合は1通り。

(2) 2勝目を3試合目で上げる場合

1勝1敗1勝となるので、1敗の位置が問題になります。

1敗の位置は、最初の1勝の後なので、1通り。

(3) 2勝目を4試合目で上げる場合

1勝□□1勝となります。□□には1敗が2つ入ります。

1敗2つの並べ方は$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

(4) 2勝目を5試合目で上げる場合

1勝□□□1勝となります。□□□には1敗が3つ入ります。

1敗3つの並べ方は$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$通り。

したがって、勝ち抜くための勝敗の順は、

$1 + 1 + 3 + 4 = 9$通り

3. 最終的な答え

9通り