正十角形の3個の頂点を結んで三角形を作る時、以下の問いに答える。 (1) 正十角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。 (2) 正十角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

1. 問題の内容

正十角形の3個の頂点を結んで三角形を作る時、以下の問いに答える。

(1) 正十角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。

(2) 正十角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める。

まず、正十角形の1つの辺を固定する。その辺と1辺だけを共有する三角形を作るには、その辺の両端の頂点を除いた8個の頂点から1つを選ぶ必要がある。

しかし、隣り合う辺を共有する場合が考えられるので、それを取り除く必要がある。固定した辺の両端の頂点に隣接する2点を除外する必要がある。

したがって、各辺に対して $8 - 2 = 6$ 個の三角形が作れる。

正十角形には10個の辺があるので、1辺だけを共有する三角形の総数は、$10 \times 6 = 60$ 個となる。

(2) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

まず、正十角形の頂点から3つの頂点を選ぶ組み合わせの総数を求める。これは $_{10}C_3$ で計算できる。

$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

次に、正十角形と2辺を共有する三角形の数を求める。

これは、正十角形の隣り合う3つの頂点を選ぶことと同じなので、10個存在する。

また、正十角形と1辺を共有する三角形の数は(1)で求めたように60個である。

したがって、辺を共有しない三角形の数は、三角形の総数から、2辺を共有する三角形の数と1辺を共有する三角形の数を引けば良い。

$120 - 60 - 10 = 50$

3. 最終的な答え

(1) 60個

(2) 50個