母平均1、母標準偏差1の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出する。標本平均 $\overline{X}$ が0.9以上1.1以下である確率を、$n=100, 400$ の場合について考察する問題です。$n=100$ のとき、$\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(1, (\frac{1}{10})^2)$ に従うとき、$Z = \frac{\overline{X}-1}{ア}$ とおくと、$Z$ は近似的に標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。ア、イ、ウ、エオカ、キクケ、コの空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

母平均1、母標準偏差1の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出する。標本平均 $\overline{X}$ が0.9以上1.1以下である確率を、$n=100, 400$ の場合について考察する問題です。$n=100$ のとき、$\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(1, (\frac{1}{10})^2)$ に従うとき、$Z = \frac{\overline{X}-1}{ア}$ とおくと、$Z$ は近似的に標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。ア、イ、ウ、エオカ、キクケ、コの空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、アを求めます。

$\overline{X}$ が $N(1, (\frac{1}{10})^2)$ に従うとき、標準偏差は $\frac{1}{10}$ です。

標準化を行うために、$Z = \frac{\overline{X} - 1}{\frac{1}{10}} = 10(\overline{X} - 1)$ となります。したがって、アは $\frac{1}{10}$ となり、選択肢(1)です。

次に、イを求めます。

$P(0.9 \leq \overline{X} \leq 1.1)$ を $Z$ を用いて表します。

$Z = 10(\overline{X} - 1)$ なので、$\overline{X} = 0.9$ のとき $Z = 10(0.9 - 1) = -1$

$\overline{X} = 1.1$ のとき $Z = 10(1.1 - 1) = 1$

したがって、$P(0.9 \leq \overline{X} \leq 1.1) = P(-1 \leq Z \leq 1)$ となり、イは1です。

次に、ウを求めます。

$P(-1 \leq Z \leq 1) = P(Z \leq 1) - P(Z \leq -1) = P(Z \leq 1) - (1 - P(Z \leq 1)) = 2P(Z \leq 1) - 1$

$P(0 \leq Z \leq 1) = P(Z \leq 1) - P(Z \leq 0) = P(Z \leq 1) - 0.5$

$P(Z \leq 1) = P(0 \leq Z \leq 1) + 0.5$

$P(-1 \leq Z \leq 1) = 2(P(0 \leq Z \leq 1) + 0.5) - 1 = 2P(0 \leq Z \leq 1) + 1 - 1 = 2P(0 \leq Z \leq 1)$

したがって、ウは2です。

$Z$ が標準正規分布に従うとき、$P(0 \leq Z \leq 1) \approx 0.3413$ なので、$P(0.9 \leq \overline{X} \leq 1.1) = 2P(0 \leq Z \leq 1) \approx 2(0.3413) = 0.6826$

したがって、エオカは0.6826です。

$n=400$ のとき、$\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N(1, (\frac{1}{20})^2)$ に従います。

$Z = \frac{\overline{X}-1}{\frac{1}{20}} = 20(\overline{X}-1)$

$P(0.9 \leq \overline{X} \leq 1.1) = P(20(0.9-1) \leq Z \leq 20(1.1-1)) = P(-2 \leq Z \leq 2) = 2P(0 \leq Z \leq 2) \approx 2(0.4772) = 0.9544$

したがって、キクケは0.9544です。

$n$ が大きくなると、確率 $P(0.9 \leq \overline{X} \leq 1.1)$ が大きくなるので、$\overline{X}$ はより母平均1に近づくことがわかります。したがって、コには「nが大きいほど、標本平均は母平均に近づく」が入ります。

3. 最終的な答え

ア: (1) $\frac{1}{10}$

イ: 1

ウ: 2

エオカ: 0.6826

キクケ: 0.9544

コ: nが大きいほど、標本平均は母平均に近づく